CHAPITRE IL

laisse échapper dans l'air une quantité de chaleur exprimée par h dx dz v; il est donc nécessaire que l'on ait l'équation

hv — — K lorsqu'on fait y— l, ou y= — dans les fonctions » et ^.

La valeur de la fonction v doit être, par hypothèse, égale à A , lorsqu'on suppose ar = o , quelles que soient les valeurs de y et de z. Ainsi , la fonction cherchée v est déterminée par les conditions suivantes : i° elle satisfait pour toutes les valeurs de x, y, z à l'équation générale

d*- + <F + ~dT- — o;

2° elle satisfait à l'équation ^ v ^ = o, lorsque y équivaut à /, ou — /, quelles que soient x et z, ou à l'équation ~d + ~ = o, lorsque 2 équivaut à /, ou à — /, quelles

que soient x et y; 3° elle satisfait à l'équation v=A, lorsque x—o, quelles que soient y et z.

SECTION V

Équations du mouvement Varié de la chaleur dans un

cube solide,

Un solide, de forme cubique, dont tous les points ont acquis une même température, est placé dans un courant uniforme d'air atmosphérique, entretenu à la température o.

iao THEORIE DE LA CHALEUR.

Il s'agit de déterminer les états successifs du corps pendant toute la durée du refroidissement.

Le centre du cube est pris pour origine des coordonnées rectangulaires ; les trois perpendiculaires , abaissées de ce point sur les faces, sont les axes des x, des y et du z; a / est le côté du cube , v est la température à laquelle un point dont les coordonnées sont x, y, z, se trouve abaissé, après le temps t , qui s est écoulé depuis le commencement du refroidissement : la question consiste à déterminer la fonction v, qui contient x, y, z et t.

Pour former l'équation générale à laquelle v doit satisfaite, on cherchera quel est le changement de température qu'une portion infiniment petite du solide doit éprouver pendant l'instant dt, en vertu de l'action des molécules qui en sont extrêmement voisines. On considérera donc une molécule prismatique comprise entre six plans rectangulaires ; les trois premiers passent par le point m, dont les coordonnées sont x, y, z, et les trois autres , par le point m', dont les coordonnées sont x + dx, y + dy, z + dz.

La quantité de chaleur qui pénètre pendant l'instant dt dans la molécule, à travers le premier rectangle dy dz perpendiculaire aux or, est — Kdy dz^dt, et celle qui sort

dans le même temps de la molécule, par la face opposée, se trouve en mettant x + dx au lieu de x, dans l'expression

précédente , elle est — K dy dz ^ dt — K dy dz d (jfe) dt,

cette différentielle étant prise par rapport à x seulement. La quantité de chaleur qui entre pendant l'instant dt dans

CHAPITRE II. iai la molécule, à travers le premier rectangle dx dz, perpendiculaire à l'axe des y, est — K dxdz ^ dt, et celle qui sort de la molécule, dans le même instant, par la face opposée , est — K dx dz ~ dt — K dx dz d ( ^ ) dt, la différentielle e'tant prise par rapport à y seulement. La quantité de chaleur que la molécule reçoit pendant l'instant dt, par sa face inférieure perpendiculaire à l'axe des z , est

— Kdx dy^dt, et celle qu'elle perd par la face opposée

est — Kdx dy ~ dt — Kdx dy d (jfy d t, la différentielle étant prise par rapport à z seulement.

Il faut maintenant retrancher la somme de toutes les quantités de chaleur qui sortent de la molécule de la somme des quantités qu'elle reçoit , et la différence est ce qui détermine son accroissement de température pendant un instant : cette différence est

Kdydzd dt + Kdxdzd (^) dt + Kdx dy d (^) dt,

ou Kdxdydz [j£ + jjr + j£ \dt-

Si l'on divise la quantité que l'on vient de trouver par celle qui est nécessaire pour élever la molécule de la température o à la température i , on connaîtra l'accroissement de température qui s'opère pendant l'instant dt. Or, cette dernière quantité est C . D dx dy dz; car C désigne la capacité de chaleur de la substance; D sa densité, et dx dy dz le volume de la molécule. On a donc, pour exprimer le mou-

iaa THÉORIE DE LA CHALEUR.

vement de la chaleur dans l'intérieur du solide , 1 équation

di> K ( d* i» d*v d* v\ /JN

Tt=c*{di? + -dy + -dï ) W

Il reste à former les équations qui se rapportent à l'état de la surface, ce qui ne présente aucune difficulté, d'après les principes que nous avons établis. En effet , la quantité de chaleur qui traverse, pendant l'instant dt, le rectangle dxdy,

tracé sur un plan perpendiculaire aux x, est — Kdydz~dt.

Ce résultat, qui s'applique à tous les points du solide, doit avoir lieu aussi lorsque la valeur de x est égale à /, demiépaisseur du prisme. Dans ce dernier cas, le rectangle dydz étant placé à la superficie , la quantité de chaleur qui le traverse, et se dissipe dans l'air pendant l'instant dt, est exprimée par h dy dz v dt, on doit donc avoir, lorsque

x=l, l'équation hv= — Cette condition doit aussi

être satisfaite lorsque x = — /.

On trouvera de même que, la quantité de chaleur qui traverse le rectangle dx dz situé sur un plan perpendiculaire à l'axe des y étant en général — K dx dz ~, et celle

tjui à la superficie s échappe dans l'air à travers ce même rectangle étant h dx dz d dt, il est nécessaire que l'on ait

l'équation hv 4- K ^=0, lorsque y= /ou = — /. Enfin on

obtient pareillement l'équation déterminée hv -+■ K ~=o, qui est satisfaite lorsque z = /ou = — /.

La fonction cherchée, qui exprime le mouvement varié de