THÉORÈME III

Si les températures des points d'un solide sont exprimées par l'équation i> =f (x , y, z, £), dans laquelle x, y, z sont les coordonnées de la molécule dont la température est égale à v après le temps écoulé t ; le flux de chaleur qui traverse une partie d'un plan tracé dans le solide, et perpendiculaire à l'un des trois axes, n'est plus constant ; sa valeur est différente pour les différentes parties du plan , et elle varie aussi avec le temps. Cette quantité variable peut être déterminée par le calcul.

Soit o> un cercle infiniment petit dont le centre coïncide avec le point m du solide et dont le plan soit perpendiculaire à la coordonnée verticale z ; il s'écoulera pendant l'instant d t, à travers ce cercle, une certaine quantité de chaleur qui passera de la partie du solide inférieur au plan du cercle , dans la partie supérieure. Ce flux se compose de tous les rayons de chaleur qui partent d'un point inférieur, et parviennent à un point supérieur, en traversant un point

i3a THEORIE DE LA CHALEUR.

de la petite surface w. Nous allons démontrer que la valeur

du flux a pour expression — K ^ tad t .

Désignons par x y z' les coordonnées du point m dont la température est v ; et supposons que I on rapporte toutes les autres molécules à ce point m choisi pour l'origine de trois nouveaux axes parallèles aux ^précédents; soient Ç, », lès trois coordonnées d'un point rapporté à l'origine m; on aura, pour exprimer la température actuelle w d'une molécule infiniment voisine de m, l'équation linéaire

, Y d v' d ?/ v dv'

w = v^^77+^ + ^-dT'

Les coefficients a/, ^J- sont les valeurs que l'on

trouve, en substituant dans les fonctions v, , ^~ , ^ ,

aux variables j, z, les quantités constantes x', jr, z', qui mesurent les distances du point m aux trois premiers axes des x, des y, des z.

Supposons maintenant que le même point m soit aussi une molécule intérieure d'un prisme rectangulaire compris entre six plans perpendiculaires aux trois axes dont m est l'origine; que la température actuelle w de chaque molécule de ce prisme, dont les dimensions sont finies, soit exprimée par l'équation linéaire w = X + aî,-\-bn c £, et que les six faces qui terminent le prisme soient retenues aux températures fixes que cette dernière équation leur assigne. L'état des molécules intérieures sera aussi permanent, et il s'écoulera pendant l'instant dt, à travers le cercle w, une quantité de chaleur que mesure l'expression — k c <adt.

CHAPITRE II. i33 Cela posé, si l'on prend pour les valeurs des constantes

a,b,c, les quantités v',^-, ~J}'> ~dT' ^ t tat ^xc ^u P-™sme sera exprimé par l'équation

, d v' „ d ?/ d v' v dx djr dz

Ainsi les molécules infiniment voisines du point m auront, pendant l'instant cl t, la même température actuelle dans le solide dont l'état est variable, et dans le prisme dont l'état est constant. Donc le flux qui a lieu au point m pendant l'instant d t, à travers le cercle infiniment petit w, est le même dans l'un et l'autre solide : donc il est exprimé par

K —. — ta (1 1.

dz

On en conclut la proposition suivante :

Si dans un solide dont les températures intérieures varient avec le temps, en vertu de l'action des molécules , on trace une ligne d/vite quelconque , et que l'on élève (voy. fig. 5), aux différents points de cette ligne, les ordonnées p m d'une courbe plane égales aux températures de ces points prises au même instant ; le flux de chaleur, en chaque point p de la droite, sera proportionnel a la tangente de l'angle «.que fait l'élément de la courbe avec la parallèle aux abaisses ; c'est-à-dire que si l'on plaçait au point p le centre d'un cercle infiniment petit w , perpendiculaire à la ligne , la quantité de chaleur écoulée pendant un instant dt, à travers ce cercle , dans le sens suivant lequel les abaisses a p croissent, aurait pour mesure le produit de quatre facteurs qui sont la tangente de l'angle a, un coefficient constant K, Taire w du cercle, et la durée d t de l'instant.

i34 THÉORIE DE LA CHALEUR.