CHAPITRE II

compares , s'ils n'avaient point le même exposant de dimension^ Nous avons introduit cette considération dans la théorie de la chaleur pour rendre nos définitions plus fixes, et servir à vérifier lecalcul ; elle dérivedes notions primordiales sur les quantités ; c'est pour cette raison que , dans la géométrie et dans la mécanique, elle équivaut aux lemmes fondamentaux que les Grecs nous ont laissés sans démonstration.

Dans la théorie analytique de la chaleur, toute équation (E) exprime une relation nécessaire entre des grandeurs subsistantes x, t, v, c, h, Iî. Cette relation ne dépend point du choix dè l'unité de longueur, qui de sa nature est contingent, c'est-à-dire que, si l'on prenait une unité différente pour mesurer les dimensions linéaires, l'équation (E) serait encore la même. Supposons donc que l'unité de longueur soit changée, et que sa seconde valeur soit équivalente à la première, divisée par m. Une quantité quelconque x qui dans l'équation (E) représente une certaine ligne a b, et qui, parconséquent, désigne un certain nombre de fois ljJpété de longueur, deviendra mx , afin de correspondre à flTmcme grandeur a b ; la valeur t du temps et la valeur v de la température ne seront point changées ; il n'en sera pas de même

des éléments spécifiques k, k, c : le premier h deviendra ^ ;

car il exprime la quantité de chaleur qui sort pendant l'unité de temps, de l'unité de surface à Ta température i. Si l'on examine avec attention la nature du coefficient k, tel que nous l'avons défini dans les art. C8 et i35, on reconnaîtra

qu'il devient — ; car Le flux de chaleur est en raison directe

i56 THÉORIE DE LA CHALEUR.

de l'étendue de la surface, et en raison inverse de la distance des deux plans infinis (art. 72). Quant au coefficient c qui représente le produit C D, il dépend aussi de l'unité de longueur et devient ; donc l'équation (E) ne doit subir aucun changement, si l'on écrit, au lieu de x , mx t et en même

temps—, — , —, au lieu de k, h, c; le nombre m disparaîtra

de lui-même après ces substitutions : ainsi la dimension de x, par rapport à l'unité de longueur est 1 ; celle de A- est — 1, celle de h est — 2 , et celle de c est — 3. Si l'on attribue à chaque quantité son exposant de dimension , l'équation sera homogène , parce que chaque terme aura le même exposant total. Les nombres tels que s, qui représenteraient des surfaces ou des solides , ont la dimension 2 dans le premier cas, et la dimension 3 dans le second. Les angles, les sinus et autres fonctions trigonométriques , les logarithmes ou exposants de puissance sont , d'après les principes du calcul , des nombres absolus qui ne changent point avec l'unité de longueur;. on doit donc trouver leur dimension égale à o , qui est celle de tous les nombre abstraits.

Si l'unité de temps , qui était d'abord 1 , devient ^ , le nombre t sera n t, et les nombres x et v ne changeront point. Les coefficients k, h, c seront *, ^ , c. Ainsi les dimensions de x, t, v, par rapport à l'unité de temps, sont o, 1 , o, et celles de k, h, c, sont — 1 , — 1,0.

Si l'unité de température était changée , en sorte que la température 1 devînt celle qui répond à un autre effet que l'ébullition de l'eau; et si cet effet exigeait une température