CHAPITRE III. 1G

à déterminer les températures permanentes d'un solide rectangulaire infini , compris entre deux masses de glace B et C et une masse d'eau bouillante A ; la considération des questions simples et primordiales est un des moyens les plus certains de découvrir les lois des phénomènes naturels, et nous voyons, par l'histoire des sciences, que toutes les théories se sont formées suivant cette méthode.

Pour exprimer plus brièvement la même question, on suppose qu'une lame rectangulaire BAC, d'une longueur infinie, est échauffée par son extrémité A, et conserve dans tous les points de cette base une température constante 1 , tandis que chacune des deux arêtes infinies B et C, perpendiculaires à la première, est aussi assujétie dans tous ses points à une température constante o ; il s'agit de déterminer qu'elles doivent être les températures stationnaires de chaque point de la lame.

On suppose qu'il ne se fait à la superficie aucune déperdition de chaleur, ou, ce qui est la même chose, on considère un solide formé par la super-position d'une infinité de lames pareilles à la précédente; on prend pour l'axe des x la droite ox, qui partage la lame en deux moitiés, et les coordonnées de chaque point m sont x et/; enfin on représente la largeur A de la lame par 2 ou , pour abréger le calcul, par * , valeur de la demi -circonférence.

Concevons qu'un point m de la lame solide BAC, qui a pour coordonnées x ity, ait la température actuelle i>, et que les quantités v, qui répondent aux différents points, soient telles qu'il ne puisse survenir aucun changement dans les températures, pourvu que celle de chaque point de la base A soit

K ,6a THÉORIE DE LA Cil \ L E t R.

toujours i , et que les côtés B et C conservent dans tous leurs points la température o.

Si l'on élevait en chaque point m une coordonnée verticale égale à la température v, on formerait une surface courbe qui s'étendrait au-dessus de la lame et se prolongerait à l'infini. Nous chercherons à connaître la nature de cette surface qui passe par une ligne parallèle élevée au-dessus de l'axe des y, à une distance égale à l'unité, et qui coupe le plan horizontal , suivant les deux, arêtes infinies parallèles aux X.

Pour appliquer l'équation générale

dv K fd' v d' v d1 i>\ dJ — C.D W-r' dj" ~*~ dz'J'

on considérera que, dans le cas dont il s'agit, on fait abstrac-

tion d'une coordonnée z, en sorte que le terme ~ doit être omis; quant au premier membre il s'évanouit , puisqu'on veut déterminer les températures stationnaires ; ainsi l'équation qui convient à la question actuelle, et détermine les propriétés de la surface courbe cherchée est celle-ci,

dy v

dx* dy

La fonction de x et y, 9 (x, y) qui représente l'état permanent du solide BAC, doit i° satisfaire à l'équation (à) ; 20 de-

venir nulle lorsqu'on substitue r ou + - t. au lieu de y,

quelle que soit d'ailleurs la valeur de x; 3° elio doit être égale à l'unité , si l'on suppose x= o , et si l'on attribue à y