CHAPITRE III. i

une valeur quelconque comprise entre — z- x et -\- ^w. Il faut

ajouter que cette fonction 9 (x,y) doit devenir extrêmement petite lorsqu'on donne à x une valeur très-grande, puisque toute la chaleur sort du seul foyer A.

Afin de considérer la question dans ses éléments, on cherchera en premier lieu les plus simples fonctions de x et y, qui puissent satisfaire à l'équation (a); ensuite on donnera à cette valeur de v une expression plus générale, afin de remplir toutes le conditions énoncées. Par ce moyen la solution acquerra toute l'étendue qu'elle doit avoir, et Ton démontrera qùe la question proposée ne peut admettre aucune autre solution.

Les fonctions de deux variables se réduisent souvent à une expression moins composée , lorsqu'on attribue à l'une des variables ou à toutes les deux une valeur infinie; c'est ce que l'on remarque dans les fonctions algébriques qui , dans ce cas , équivalent au produit d'une fonction de x par une fonction de y. Nous examinerons d'abord si la valeur de i> peut être représentée par un pareil produit; car cette fonction v doit représenter l'état de la lame dans toute son étendue, et par conséquent celui des points dont la coordonnée x est infinie. On écrira donc v=Fx./y, substituant

dans l équation a et désignant — ' par b x et — j[y

par /"y, on aura Fx } -\-^-J^-= o; on pourra donc sup-

poscr-pr^- = m et^r = — m> m <*tant une constante quelconque, et comme on se propose seulement de trouver une

i64 THÉORIE DE LA CHALEUR,

valeur particulière de v, on déduira des équations précédentes F x = e~ mx y fy=cos. m y.

On ne pourrait point supposer que m est un nombre négatif, et l'on doit nécessairement exclure toutes les valeurs

particulières de v, où il entrerait des termes tels que emx , m étant un nombre positif, parce que la température une peut point devenir infinie, lorsque x est infiniment grande. En effet la chaleur n'étant fournie que par la source constante A, il ne peut en parvenir qu'une portion extrêmement petite dans les points de l'espace, qui sont très-éloignés du foyer. Le reste se détourne de plus en plus vers les arêtes infinies B et C , et se perd dans les masses froides qu'elles terminent.

L'exposant m qui entre dans la fonction e mx . cos. my n'est pas déterminé, et l'on peut choisir pour cet exposant un nombre positif quelconque : mais, pour que v devienne

nulle en faisant y= — ^ * ou y = -h ~ «, quelle que soit x,

on prendra pour m un des termes de la suite, i, 3, 5, 7,9, etc. ; par ce moyen la seconde condition sera remplie.

On formera facilement une valeur plus générale de v, en ajoutant plusieurs termes semblables aux précédents, et l'on

aura v=a e x cos. y + be ^x cos. 3 y -h ce ^x cos. 5/

+ de~ 7X. cos. 7 y + etc. (&). Il est évident que

cette fonction v désignée par y(x,y) satisfait à l'équation

j~J* ~*~ = °i et à la condition 9 (x, ± j *) =0. H reste