CHAPITRE III. i

C'est ainsi qu'on est parvenu à effectuer entièrement les éliminations et à déterminer les coefficients a,b,c,d, etc. , de l'équation

i =0 cos. x + b cos. 3 x + c cos. 5 x -\- d cos. y x + e cos. 9 x, + etc.

La substitution de ces coefficients, donne 1 équation suivante :

^ = cos.y — g cos. 3/+ ^ cos. 5/ — x- C0S.7J

+ ^ cos. 97 — ~ cos. 1174- etc.

Le second membre est une fonction de j**, qui ne change point de valeur quand on donne à la variable .y une valeur

comprise entre — - r. et + - r. • Il serait aisé de prouver que

cette série est toujours convergente, c'est-à-dire que, en mettant au lieu de y un nombre quelconque, et en poursuivant le calcul des coefficients , on approche de plus en plus dune valeur fixe, en sorte que la différence de cette valeur à la somme des termes calculés, devient moindre que toute grandeur assignable. Sans nous arrêter à cette démonstration, que le lecteur peut suppléer, nous ferons remarquer que la valeur fixe, dont on approche continuellement,

est t. , si la valeur attribuée à y est comprise entre o et i ir, mais qu elle est — ^ «, si y est comprise entre ~ t. et - w ;

car, dans ce second intervalle, chaque terme de la série change de signe. En général la limite de la série est alternativement positive et négative; au restera convergence n'est

point assez rapide pour procurer une approximation facile ,

mais elle suffit pour la vérité de l'équation.

L'équation

y — cos. x — ^ cos. 3 .r * cos. 5 x — x- cos. j x + etc. ,

appartient à une ligne qui , ayant x pour abcisse et y pour ordonnée, est composée de droites séparées dont chacune est parallèle à l'axe et égale à la demi-circonférence. Ces parallèles sont placées alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe, à la distance ^ 1?, et jointes par des perpendiculaires qui font elles-mêmes partie de la ligne. Pour se former une idée exacte de la nature de cette ligne , il faut supposer que le nombre des termes de la fonction

cos. x — ^ cos. 3 x -f- 1 cos. 5 x — etc.

reçoit d'abord une valeur déterminée. Dans ce dénier cas l'équation

y = cos x — j cos. 3 x -f- 1 cos. 5 x — etc.

appartient à, une ligne courbe qui passe alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe ^ en le coupant toutes les fois que l'abcisse x devient égale à l'une des quantités

o, ± - tî, rb -r, rt-ic. etc., , .

à mesure que le nombre des termes de l'équation augmente, la courbe dont il s'agit tend de plus en plus à se confondre avec la ligne précédente, composée de droites parallèles et