CHAPITRE 1 1 T

de droites perpendiculaires; en sorte que cette ligne est la limite des différentes courbes que l'on obtiendrait en • augmentant successivement le nombre des termes.

SECTION III

Remarques sur ces séries.

On peut envisager ces mêmes ëquations sous un autre point de vue , et démontrer immédiatement 1 équation

^=cos.x — ^ cos . 3 a? -H ^ cos. 5 .r — ^cos. 7 a; + ^ cos. 9 a: — etc.

Le cas ou x est nulle se vérifie par la série de Léibnitz,

Tt I I II

4=l-$ + 5 — ~+ - — etc'

Ensuite on supposera que le nombre des termes de la série

cos. x — ^cos. 3 x + g cos. Sx — x- cos. 7 x -t- etc.

au lieu d'être infini est déterminé et égal à m. Oh considérera la valeur de cette suite finie comme une fonction de x et de m. On réduira la valeur de la fonction en une série ordonnée suivant les puissances négatives de m; et l'on reconnaîtra que cette valeur approche d'autant plus d'être constante et indépendante de x, que m est un plus grand nombre.

Soit /la fonction cherchée qui est donnée par l'équation ; cos. a; — ~ cos. 3x -h \ cos. Sx — -cos. ix + .... h - — cos. a/w— i x

le nombre m des termes étant supposé pair. Cette équation différenciée par rapport à x, donne

— ^£ = sin. x — sin. 3 x + sin. 5 x — sin. 7a:....

+ sin. 2 m — 3.x — sin. a m — i.x ;

en multipliant par 2 sin. 2 x, on a

— 2 ^ sin. 2 3? = 2 sin. x . sin. 2 x — 2 sin. 3 x . sin. 2 x dx

+ 2 sin. 5 x.sin. u... + a sin. 2 m — 3 x sin. 2 x — 2 sin. 2 m — 1 x.sin 2X.

Chaque terme du second membre étant remplacé par la différence de deux cosinus, on en conclura :

— 2 sin. 2 x = cos. ( — x ) — cos. 3 x K — cos. x -4- cos. 5 x

■+- cos. 3 x — cos. 7 x

COS. 5 X -h cos. o, X

-+• cos. 7 X COS. I I X

-+- COS. 2m 5x COS.2W IX

• 2/7Î — 3x -4- cos. 2m + ix.

Le second membre se réduit à cos. 2 1 x — cos. 2 w— Tx ou — 2 sin. 2 x.sin. x; donc

cos. -c y