CHAPITRE III. i

longe à l'infini, ne recevrait point par ses bases une quantité de chaleur égale à celle quelle perd par ses deux arêtes, ell^ne pourrait donc point conserver son état, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Quant à la dépense de la source de chaleur, on la trouve en supposant x—o dans l'expression précédente; elle acquiert par-là une valeur infinie, et l'on en connaîtra la raison si l'on remarque que, d'après l'hypothèse, tous les points de la ligne A ont et conservent la température i ; les lignes parallèles qui sont très-voisines de cette base ont aussi une température extrêmement peu différente de l'unité ; donc les extrémités de toutes ces lignes qui sont contiguës aux masses froides B et C leur communiquent une quantité de chaleur incomparablement plus grande que si le décroissement de la température étaitfl^mtinu et insensible. Il existe dans cette première partie de la lame, aux extrémités voisines de B ou de C , une cataracte de chaleur ou un flux infini. Ce résultat cesse d'avoir lieu lorsque la distance x reçoit une valeur appréciable.

On a désigné par nia longueur de la base. Si on lui attribue une valeur quelconque 2 l, il faudra écrire, au lieu de y,

j w. et multipliant aussi les valeurs de x par ^, on écrira

au lieu de x. Désignant par A la température constante de la base, on remplacera v par ~. Ces substitutions étant faites dans l'équation (a) on a

v—i^-(^e"^1 cos.^— ^ e~~ ^.cos.3 ^£-f- \e V/.cos.5ï7

— -e cos. 7 ^ 4- etc. J . (B).

Cette équation représente exactement le système des températures permanentes dans un prisme rectangulaire infini, compri j entre deux masses de glace B et C, et une source de chaleur constante.

Il est facile de voir, soit au moyen de cette équation , soit d'après l'art. 171 , que la chaleur se propage dans ce solide, en s éloignant de plus en plus de l'origine, en même temps qu'elle se dirige vers les faces infinies B et C. Chaque section parallèle à celle de la base est traversée par une onde de chaleur qui se renouvelle à chaque instant , e^onserve la même intensité : cette intensité est d'autant m^Kdre, que la section est plus distante de l'origine. Il s'opère un mouvement semblable, par rapport à un plan quelconque parallèle aux faces infinies; chacun de ces plans est traversé par une onde constante qui porte sa chaleur aux masses latérales.

Nous aurions regardé comme inutiles les développements contenus dans les articles précédents, si nous n'avions point à exposer une théorie entièrement nouvelle, dont il est nécessaire de fixer les principes. C'est dans cette même vue que nous ajouterons les remarques suivantes.

Chacun des termes de l'équation («) correspond à Un séiil système particulier de températures , qui pourrait subsister dans une lame rectangulaire échauffée par son extrémité, et

CHAPITRE III. I99 dont les arrêtes infinies sont retenues à une température

constante. Ainsi 1 équation v=e ~x cos. y représente les températures permanentes, lorsque les points de la base A sont assujétis à une température fixe, designée par cos. y. On peut concevoir maintenant que la lame échauffée fait partie du plan qui se prolonge à l'infini dans tous les sens, et en désignant par x ét ales coordonnées d'un point quelconque de ce plan, et par v, la température du même point, on

appliquera au plan tout entier l'équation v = e~ x cos. y; par ce moyen , les arêtes B et C auront la température constante o ; mais il n'en sera pas de même des parties contiguës BB et CC ; elles recevront et conserveront une température moindre. La base A aura dans tous ses points la température permanente, désignée par cos. y, et les parties contiguës AA auront une température plus élevée.

Si Ton construit la surface courbe dont l'ordonnée verti-f cale équivaut à la température permanente de chaque point du plan , et si on le coupe par un plan vertical passant par la ligne A, ou parallèle à cette ligne, la figure de la section sera celle d'une ligne trigonométrique dont l'ordonnée représente la suite infinie et périodique des cosinus. Si l'on coupe cette même surface courbe par un plan vertical parallèle à l'axe des x, la figure de la section sera dans toute son étendue celle d'une courbe logarithmique. »

On voit par-là de quelle manière le calcul satisfait aux deux conditions de l'hypothèse, qui assujétissent la ligne à une température égale à cos. y, et les deux côtés B et C à la température o. Lorsqu'on exprime ces deux conditions, on

aoo THÉORIE DE LA CHALEUR.

résout en effet la question suivante : Si la lame échauffée faisait partie d'un plan infini, quelles devraient être les températures de tous les points de ce plan, pour que le système fût de lui-même permanent, et que les températures fixes des côtés du rectangle infini fussent celles qui sont données par l'hypothèse?

Nous avons supposé précédemment que des causes extérieures quelconques retenaient les faces du solide rectangulaire infini , l'une à la température i , et les deux autres à la température o. On peut se représenter cet effet de différentes manières; mais l'hypothèse propre au cafcul , consiste à regarder le prisme comme une partie d'un solide dont toutes les dimensions sont infinies, et à déterminer les températures de la masse qui l'environne, en sorte que les conditions relatives à la surface soient toujours observées.

aoo.

Pour connaître le système des températures permanentes dans une lame rectangulaire dont l'extrémité A est entretenue à la température i , et les deux arêtes infinies à la temperature o, on pourrait considérer les changements que subissent les températures , depuis l'état initial qui est donné jusqu'à l'état fixe qui est l'objet de la question. On déterminerait ainsi l'état variable du solide pour toutes les valeurs du temps, et l'on supposerait ensuite cette valeur infinie.

La méthode que nous avons suivie est différente, et conduit plus immédiatement à l'expression de l'état final, parce qu'elle est fondée sur une propriété distinctive de cet état. On va prouver maintenant que la question n'admet aucune autre solution que celle que nous avons rapportée. Cette démonstration résulte des propositions suivantes.