CHAPITRE III. i9S

On trouverait encore les mêmes résultats si la section , à l'origine, au lieu d'être terminée comme dans l'hypothèse actuelle par une droite parallèle à l'axe des y, avait une figure quelconque formée de deux parties symétriques. On voit donc que les valeurs particulières

a e~x cos. y, b e"~3x cos. 3 y, c e ~5 *cos. 5 y, etc.

prennent leur origine dans la question physique elle-même, et ont une relation nécessaire avec les phénomènes de la chaleur. Chacun d'eux exprime un mode simple suivant le quel la chaleur s'établit et se propage dans une lame rectangulaire , dont les côtés infinis conservent une température constante. Le système général des températures se compose toujours d'une multitude de systèmes simples, et l'expression de leur somme n'a d'arbitraire que les coefficients a, b, c, d, etc.

On peut employer l'équation (a) pour déterminer toutes les circonstances du mouvement permanent de la chaleur dans une lame rectangulaire échauffée à son origine. Si l'on demande, par exemple, quelle est la dépense de la source de chaleur, c'est-à-dire , quelle est la quantité qui, pendant un temps donné, pénètre à travers la base A et remplace celle qui s'écoule dans les masses froides BetC; il faut considérer que le flux perpendiculaire à l'axe des y a pour

expression — k jj^- la quantité qui , pendant l'instant d t

s'écoule à travers une particule d y de l'axe, est donc

ï94 THÉORIE DE LA CHALEUR.

et, comme les températures sont permanentes, le produit du

flux, pendant l'unité de temps, est — k j^dy. On intégrera

cette expression entre les limites y = — - « et j— -h^ r,

afin de connaître la quantité totale qui traverse la base, ou, ' ce qui est la même chose, on intégrera depuis y=o jusqu'à

y — - r, et l'on prendra le double de la somme. La quantité

^ est une fonction de x et y, dans laquelle on doit faire

x = o, afin que le calcul se rapporte à la base A, qui coïncide avec l'axe des y. La dépense de la source de chaleur a

donc pour expression ^ — k dy^ . L'intégrale doit être prise depuis / = o jusqu'à y = \ * ; si dans la fonction ^- on ne suppose point # = o, mais x=x, l'intégrale sera une fonction de x qui fera connaître combien il s'écoule de chaleur pendant l'unité de temps à travers une arête transversale placée à la distance x de l'origine.

Si l'on veut connaître la quantité de chaleur qui , pendant l'unité de temps, pénètre au-delà d'une ligne tracée sur la lame parallèlement aux arêtes B et C , on se servira de

l'expression — k ~, et, la multipliant par l'élément dx delà

ligne tracée , on intégrera par rapport à x entre les termes donnés de la ligne; ainsi l'intégrale j ( — k^dx^ fera connaître combien il s'écoule de chaleur à travers toute

CHAPITRE III. !95 l'étendue de la ligne ; et si avant ou après l'intégration on

fait y = - « , on connaîtra la quantité de chaleur qui , pen-

dant l'unité de temps , sort de la lame en traversant l'arête infinie C. On pourra ensuite comparer cette dernière quantité à la dépense de la source de chaleur ; car il est nécessaire que le foyer supplée continuellement la chaleur qui s'écoule dans les masses B et C. Si cette compensation n'avait pas lieu à chaque instant, le système des températures serait variable.

L'équation (a) donne

trdv 4K / — x — Zx q — 5 x c

— K^ = y( e ■ cos. y — e cos. ôy+e coa.oy

— e~ 7-r'cos. 7 j+etc.)

multipliant par dj, intégrant depuis /=o, on a

4 K. / — x . 1 — 3 x . « 1 — Zx . r

2— ( e sin. 7 — sin. 3y+^e sin. 5y

1 — nx . \ — -e ' sm. y y 4- etc. y

Si l'on fait 7=- «, et si l'on double l'intégrale, on trouvera:

+e +e +-e +etc.j

pour l'expression de la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, traverse une ligne parallèle à la base et dont la distance à cette base est x.

On déduit aussi de l'équation (a)

K-r-=— ( e sin. y — e sin. 3y + e sin. 5 V

— e~ ;;r sin. 77+. );

donc l'intégrale / — K (jp) ^ *i Prise depuis

ar=o est-^- ((»— *J sin.,y— ( i — e~3x) sin. 3 y + ( i — e~~Sx) sin. 5 ( i — è~lx) sin. 77 + etc. )

Si l'on retranche cette quantité de la valeur qu'elle prend lorsqu'on y fait x infinie, on trouvera :

-^(e sm.j — sin. oy+^e sm.oy — etc. J,

et, en faisant/=- tt, on aura l'expression de la quantité

totale de chaleur qui traverse l'arête infinie C, depuis le point dont la distance à l'origine est x , jusqu'à l'extrémité de la lame: cette quantité est

4 K / — x 1 — 3* 1 — 5x . 1 — nx \ — \.6 +3C +5* +7e +etc.};

on voit qu'elle équivaut à la moitié de celle qui pénètre pendant le même temps au-delà de la ligne transversale tracée sur la lame à la distance x de l'origine. Nous avons déjà remarqué que ce résultat est une conséquence nécessaire des conditions de la question; s'il n'avait pas lieu, la partie de la lame qui est placée au-delà de la ligne transversale et se pro-