DÉVELOPPEMENT DES DIVERSES FONCTIONS PERTURBATRICES

I. Lorsqu'on veut déterminer les mouvements des satellites de Jupiter autour de leur planète, il n'est pas permis de confondre les attractions exercées par cet astre avec celles d'un point de même masse placé en son centre de gravité : car, d'une part, les dimensions de Jupiter sont comparables aux distances qui le séparent de ses satellites, et, d'autre part, l'aplatissement de son globe est environ y^. Le potentiel de l'attraction de Jupiter sur un

satellite ne pourra donc pas être confondu avec la quantité •-— , / désignant

l'attraction mutuelle de deux unités de masse à l'unité de distance, M la masse de Jupiter et r la distance du centre de gravité du satellite à celui de

* En raison de l'importance de ces termes complémentaires, il m'a paru utile de les retrouver par la méthode même de Laplace : c'est ce que j'ai fait, en me bornant au carré de la force perturbatrice, dans une Note publiée au tome 93 des AstronomiscJte Nachrichten.

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la planète. Si l'on désigne par d la déclinaison du satellite par rapport à l'équateur de Jupiter^ et par J une constante (égale au produit de la masse de Jupiter par le carré de son rayon équatorial et par l'excès de son aplatissement sur la moitié du rapport de la force centrifuge à la pesanteur le long de son équateur), ce potentiel pourra être représenté par l'expression

^— +/V, en posant \ = -J^\ — &m^d). Cette formule a été obtenue par Laplace,

comme conséquence de sa théorie des attractions des sph roïdes (v. Mécanique Céleste, livre III ; v. aussi Resal, Traité de Mécanique Céleste, p. 226).

Le mouvement du satellite ne se ferait donc pas suivant les lois de Kepler, quand même il serait seul en présence de sa planète : pour lui trouver un mouvement elliptique, il faut encore négliger l'influence de la figure de Jupiter, et par suite, pour obtenir son mouvement troublé, on devra ajouter la correction d'aplatissement V aux autres fonctions perturbatrices partielles.

Les astres perturbateurs dont l'influence sera sensible sont le Soleil, à cause de sa masse, et les trois satellites autres que celui dont il s'agit, à cause de leur proximité : la fonction perturbatrice totale sera donc, pour chaque satellite, composée de cinq parties se rapportant respectivement aux actions des trois autres satellites, à l'action du Soleil, et à l'aplatissement de Jupiter.

Dans ce qui suit, nous désignerons par des lettres sans accent les quantités qui se rapportent au premier satellite, et par les mêmes lettres affectées de I, 2, 3 accents les quantités analogues relatives au 2", au 3^ et au 4^ ; les mêmes quantités relatives au soleil seront représentées par les grandes lettres correspondantes. Par exemple, les masses des satellites et celles du soleil seront représentées par les lettres m, m', m", m'" , Jl, respectivement. Appelons r et / les rayons vecteurs menés du centre de Jupiter aux centres de gravité du premier et du second satellite, et s le cosinus de l'angle compris entre ces rayons, et posons, suivant les notations employées dans les Annales de V Observatoire de Paris,

désignons de même par R(o,2)j 1^(0,3» I^(o,j) les fonctions analogues qu'on obtient en remplaçant dans R(o,i) les quantités relatives au second satellite, par les

4 M. SouiLLAET, Théorie analytique

quantités relatives au troisième, au quatrième ou au Soleil. La fonction perturbatrice û qu'il faut considérer pour le premier satellite sera

On aura pareillement pour le second satellite

a' =/^)iRa,o) +/»^"R(..2) +.M'"R(i,3) ^fjma,, +/V', en posant

R(i,u) = ('''^ + r2 - 2r'rsY^—'^, etc.

Pour développer ces diverses fonctions, nous rapporterons les mouvements à un plan fixe passant par le centre de gravité de Jupiter ; ce plan fixe sera arbitraire : nous le supposerons seulement assez voisin de l'orbite de la planète, comme serait, par exemple, le plan dans lequel se trouvait cette orbite à une époque déterminée. Dans ces divers développements, nous conserverons les inclinaisons des orbites sur le plan fixe, au lieu d'y introduire leurs inclinaisons mutuelles.

2. On trouve dans le tome I des Annales de V Observatoire (p. 268 et 272) le tableau des termes dont se composent les fonctions R(o,i) et R(i,o), borné au second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons ; mais comme il entre dans ces développements l'inclinaison relative des orbites au lieu de leurs inclinaisons sur le plan fixe, nous n'en pourrons déduire que les termes indépendants des inclinaisons. Quant aux termes qui en dépendent, le calcul en est assez court, et on pourrait, du reste, les obtenir au moyen des formules données par M. Leverrier dans la Connaissance des Temps pour 1844.

Désignons, suivant l'usage, par a, e, e, tn-, (^, 0^ les éléments elliptiques et par l la longitude moyenne ; posons de plus, comme dans les Annales de V Observatoire,

(a2 + a'2 - 2aa' cos /3) ~ - = - 2A"'' cos ift,

aa'{a? + a'^ — 2aa' cos /3) ~'= ~ SB*''^ cos ift^

le signe % s'étendant à toutes les valeurs entières de z, positives, nuUe et négatives ; et enfin

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