Deuxième Partie

^'!1 = ^\( -x+t±^\ cos(/'-0-ee'cos(2r-2/-^' + ^) r'2 a'-[\ 2 J

+ âe cos (V — 'oj) e cos {V — 2l-{-'m) — 2e' cos {2I' — I — 'st')

— - COS (J' + l—2'm)-^- C0s(r + ?-2'n7') + 3ee'C0S (2/'-T0-' — ■ûj)

-^e2cos(Z'-3?+2^)-^e'2cos(3//-Z-2-c7')| 8 8 '

i ^|(<^2^^/2) cos (//7) + 20f COS {V-l-d' + e)

+ fC0s{l' + l-2B)+(p'^ COS (l' + l-2d')-2(p(p' cosQ' + l-6'-6)\.

Au même degré d'approximation, la valeur de R(i,o) s'obtiendra en prenant la première partie de R(o.i) sans aucun changement, et en permutant, dans la seconde partie, les éléments des deux premiers satellites.

Les expressions de R(o,2)i R(o,3) s'obtiendront en remplaçant dans R(o,i), tant implicitement qu'explicitement, les éléments du second satellite par ceux du troisième et du quatrième; et ainsi de suite.

Nous aurons aussi à considérer, dans ce qui suit, certains termes des fonctions perturbatrices, qui sont du troisième degré par rapport aux excentricités : nous les emprunterons au développement donné par M. Leverrier au tome I des Annales de l'Observatoire (p. 275).

3. Pour les fonctions R(o,,,), R(i,,), • . . , qui proviennent de l'action du Soleil, nous emploierons un autre mode de développement, celui dont on fait usao-e dans la théorie de la Lune. Développons, par la formule de Newton, le second membre de l'expression

en négligeant, à l'exemple de Larlace, la troisième puissance du rapport ^

(même pour le quatrième satellite, ce rapport n'atteint pas — V La fonction R^o,,) se réduira aux deux termes

des mouvements des Satellites de Jupiter. 7

dont le premier nous sera inutile, parce qu'il ne contient que les éléments du Soleil. On aura donc simplement

Si l'on remplace, dans cette expression, les quantités &P 01 par leurs val eurs en fonction des éléments du satellite m et du Soleil, il vient, en se bornant toujours aux secondes puissances des excentricités et des inclinaisons, le développement suivant, que nous empruntons à un " Mémoire de M. Puiseux sur les principales inégalités du mouvement de la Lune " {Annales Scientifiques de V Ecole Normale Supérieure^ t. I, i^^*" série, p. 49) : —

+ 3^«cosU^-n)+^e^cos(3^^-2Z-n)-3,<?cos(J'-2Z+n)

— ecos(Z — ■cT)+^e cos (2 J,' — 3/ l-tr)— -^e cos (^2£ — l — -m) 2 4 ^ 4 ^

+ 1 {é^ + <^~^{P + e^) cos (2j;-20 o o

+ 2(f2cos(2j?-2n)+4^(^2cos(4j'-2Z-2n) O o

+ ^e2(.Qs^2 J'— 2'C7)— ^e^cos (2^ — 2cr)+>^e2 cos (2^ — 4Z+2'S7)

+|e^cos(J'-Z + n-'z^)-3e|'cos(J'-Z-n + ^)+^eJ'cos(3J,'-3Z-n + ^)

-^e|'cos(J'+Z-n-'z^)-^e,^cos(J^-3/ + n + c^)-^e^ cos (3Jj'-Z-n-^) 40 "

— ^((^H<I>^)+^0*COs(e-0)-3(02(.,j,2)cos(2j'-2?) + 304>COS(2j'-2Z-O + f>)

+ 1*- cos (27-26) + ^(/;2 cos (2/- 2fO-^V* cos (2^-0- (Ol-

On obtiendrait R(i,) en remplaçant les éléments du premier satellite par ceux du second ; et ainsi de suite.

8 M. SouiLLART, Théorie analytique

4. Il nous reste à développer la fonction Y = -J^^ — sin^c?). Désignons

par &> l'inclinaison de l'équateur de Jupiter sur le plan fixe, par 360°— t/f la longitude de son nœud descendant, par v la longitude vraie du satellite ???-, et par .r, y, z ses coordonnées rectangulaires. Les cosinus directeurs de l'axe de rotation de Jupiter sont respectivement

sin w sin J/, sin w cos \//, cos w ;

ceux de la droite qui joint le centre de Jupiter au centre du satellite sont

on aura donc

7 a; sin w sin ^ + ■2/ sin w cos \// + z cos w

sm f/^ — ^ ^ ^^—^ .

Les angles ^ et w sont très-petits ; si l'on prend

- = cos r, ' = sin r, - =. (h sin (v — 0), sin w ^ w, cos w =: i, r r r

on aura, en ne négligeant que des termes du troisième degré au moins en ^ et eu, l'expression simple

sin d = (p sin (r — 6) + m sin ( >' + i//).

Portant cette valeur dans V, mettant pour r et l' leurs expressions en fonction des éléments du satellite, et se bornant aux secondes puissances des excentricités et des inclinaisons, on obtient le développement :

V= — -4-e cos (Z— 'Er)+ e^ + ' e^ cos (2/— 2'jd-) a^\2, 2 2

^2 w^ — éw cos (O-fJ-)

-f- (/;2 cos (2Z— 29)+-^ w2 (jQg (2Z+2-^)+^jW cos (2Z— 0 + vl/) . 2 2 J

Nous aurons aussi à considérer les termes de V qui sont du troisième é par rapport à l'excentricité : ils ne peuven et celui-ci donnera, pour les termes en question,

degré par rapport à l'excentricité : ils ne peuvent provenir que du terme ^ -3

des mouvements des Satellites de Jupiter. 9

73 |e'cos (l— 'm') -\-^ é^ cos (3^—3'®") .

Les fonctions V, V", V"' s'obtiendront en remplaçant dans V les éléments du satellite m par ceux des satellites m'^ m"^ m'".

5. Nous allons réunir ici dans un même tableau les valeurs numériques approchées des diverses quantités dont l'ordre de grandeur est à considérer, en les empruntant soit à V Annuaire du Bureau des Longitudes^ soit à la Mécanique Céleste.

Si l'on prend pour unités de temps, de masse et de distance^ le jour solaire moyen^ la masse de Jupiter et le rayon de son équateur, et si l'on exprime en PARTIES DU RAYON Us moyens mouvements et les inclinaiso7is, on aura,

liasses :

în = 0,000017, î'^' = 0,000023, 7)1'' = o,ooooS8, îu'" = 0,000043, .-/7=io5o.

Valeur de la constante J :

Moyennes distances :

Excentricités :

e et e' sont insensibles,

Moyens mouvements diurnes :

Inclinaisons (le plan fixe étant l'orbite de Jupiter en 1750) :

Si l'on compare les valeurs des moyens mouvements, on voit que n est à peu près double de n\ et n' de même à peu près double de n" : les deux différences

lo M. SouiLLAKT, Théorie analytique

sont très-petites par rapport aux quantités n^ n\ n" ; de plus ces deux différences peuvent être regardées comme égales, en sorte que les moyens mouvements des trois premiers satellites sont liés par la relation, soit rigoureuse, soit très-approchée

Il résulte de la première remarque que l'on devra, dans la recherche des inégalités, accorder une attention particulière aux termes dont l'argument sera l'un des angles 2I' —l^ 2I" — l' ou de leurs multiples, parce que l'intégration y introduira de petits diviseurs ; peut-être faudra-t-il considérer aussi l'argument 4/" — Z, bien qu'il ne puisse entrer que dans des termes du 3^ degré au moins par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Il y aura lieu d'examiner aussi d'une manière spéciale, d'une part les termes dépendants de JS ou de ses multiples, à cause de la petitesse relative de of, et d'autre part les termes provenant de V, parce qu'ils contiennent au lieu d'une masse le nombre J qui est environ 1000 fois plus grand. Quant aux termes d'argument l—^l'+2l'\ ils n'apparaîtront qu'à la seconde approximation, et nous les examinerons au Chapitre IV.