f= o",oo/i sin(/'— /"), 3-/=— u,uooooo 1 /| cos

Toutes ces inégalités sont résumées dans le tableau cjul suit :

Tableau LU.

ARGUMENT

LONGITUDE

COEFFICIENT DU SIMS

RAYON VECTEUR

COEFFICIENT DL COSINUS

1"^ satellite

2' satellite

■li-2l l-i l'-l"

— iG ,yoo

23. On obtient des résultats moins sensibles, mais non encore négligeables, en considérant celles des inégalités de degré zéro qui ne présentent que deux petits diviseurs, et qui dépendent aussi des angles respectifs 2/'— 2/, / — /', /'-/". Les plus imporlantes de ces inégalités ont été signalées au numéro dA de la première partie

(p. loG) el reconnues négligeables au degré d'approxinialion que l'on avait alors en vue; mais nous devons y avoir égard ici, en même temps qu à J)eaucoup d'autres.

„ • 1- • r 1 1 rf/i dh' dh" j , •

En premier lieu, si ion prend dans y^, -y-, -j- les termes de

degré zéro, et qu'on y fasse varier les éléments a, a, a" à raison de leurs inégalités du second ordre rapportées plus haut dans le tal)leau XLll, on peut combiner les arguments de manière à produire l'un des angles 2/ — /, 2/"—/', ce qui amènera par l'intégration un second petit diviseur dans B-Ji et, par suite, dans Sr et ^v. L'ensemble des termes ainsi obtenus donne :

Tableau LUI,

ARGUMENT

LONGliUDE.

COEFFICIENT DU SIMS

HAYON \ECTEUI;.

COEFFICIENT DC COSINIS.

1" satellite

2'' satellite

— o,ooooo6o'S

o,ooooooô3

3' satellite

Si l'on prend ensuite les termes du premier derjré, et qu'on y introduise les variations du second ordre des éléments h, /., //, . . . données par les formules (5o), lesquelles présentent deux petits diviseurs, on ol)tient de nouvelles inégalités de l'espèce cherchée, en choisissant pour arguments de départ les angles respectifs 2/, 2/', 2/". Les formules de ces inégalités ne dllTèrent des formules [XXVll] à [XXXI], données plus haut (p. 79 à 81), que par le changement des coefficients 1), B, 1>" en — D, -D', — D" respectivement. Le même changement dans la formule [XXXII] donne aussi quelques termes relatifs au quatrième satellite.

Les mêmes termes du premier degré, par l'emploi des formules (2^) et d'inégalités choisies des élémenls a,a', a\ peuvent acquérir l'argument 2I — l ou l'argument 2/"— /', ce qui amènera un second

petit diviseui', et de là résulteront dans les longitudes et les rayons vecteurs r[uelqucs nouveaux ternies semblaljles aux précédents. Le tableau suivant résume les inégalités déduites des termes du

)remier degré

Tableau LIV.

ARGUMENT

LONGirUDE.

COEFFlClrNT DU SIM:S.

HAY(JN VliCTELIi.

COEFFICIENT DU COSIMS.

1^' satellite

0^ satellite

3r 3r+r 3r-/ir+r i - r

— o", lOO

— 0 ,0 1 fl

0,00000 loi

3^ satellite

'i" satellite

Prenons enfin les termes du second degré des mêmes expressions

ddh dh dh" , ii r • 1 'i ' 1

e -^, -7-, -T- et supposons que ion y lasse varier les éléments

A, A', h'... Si Ton emploie exclusivement les formules (24), on n obtient que des résultats insensibles, car on ne doit calculer ici que les inégalités présentant deux petits diviseurs seulement, celles qui en contiennent trois ayant été déjà considérées dans le numéro précédent.

Il en est un peu autrement si l'on emploie simultanément les formules (2/i) et d'autres formules, telles que (22) (i""*^ partie, p. 63), qui donnent aussi pour les éléments h. A, //. .. des inégalités de degré zéro. Relativement au premier satellite, par exemple, si l'on fait usage des formules (2 4) et (2 2) , on est amené à prendre, comme termes de départ, ceux dont l'argument est l'un des angles

rarffumentlinal devenant 2/'— /, l'intégration introduit un deuxième

pelll diviseur clans S'A et, piu' suite, dans Sr et B-v. Pour le second satellite, on ajoute aux arguments précédents les suivants:

pour le troisième satellite, on prend les derniers angles, en } joignant l'angle /.

On obtient ainsi les nombres du tableau suivant :

s \TEI.Ln E.

\RGUMEM.

l,U\(,ITLDK.

r.DI FFlClENf Dl MM S.

1! VlON VECTEUU.

COKl'FlCIlvXT DU CO.SIMS.

1*^' satellite

0 ,o'ifl

0,0000 io5 1

2" satellite

3"" satellite

Quant à celles des inégalités 8-A, B-k, B-/i\ . . . (|ui dépendent des excentricités, les plus considérables seront msigniliantes, malgré la j)résence de trois petits diviseurs. Ces dernières seraient pour le troisième ordre ce que sont les formules [9] (p. 65) pour le premier et les fornuiles [27] (p. 89) pour le second; elles dépendraient aussi de l'angle fil — 2/ — ^/ — (3, et par suite elles amèneraient dans les longitudes et les rayons vecteurs de nouveaux termes contenant respectivement les argmuents

4/'-3/-^/-iS, '61' -2l-gl-^, ■M"^2l-gl-^.

PoiN- obtenir, par exemple, celles (|ui se lapportenl au premier satellite, il faudrait employer :

I ** les inégalités [27] dans les termes du premier degré non

. • j- 1 rf/i

périodiques de -y-;

THEORIE DES SATELLITES DE .ILPl'l'EU. lll

2° les illégalités (5o) et les Tormules (i3) ( i''" partie, p. 99 et 39) dans les termes du second degré en 2/'— /, 6/'— 3/ et M" — /;

3" les inégalités (2/1) (i'"^ partie, p. 66) et les formules (i3) dans les termes du troisième degré dépendants des angles 4/' — 2/ et 8/- M

Les inégalités du second de ces trois groupes se déduiiaieiil immédiatement des formules [11], [12], [1^] trouvées plus haut (p. 8/i et 85) , parle simple changement de B,B',B''en - D,- D', — D" respectivement.

Pour former celles du troisième groupe, on prendrait dans y

les expressions [Ai], [4 2], [-44]» qui seront données plus loin (n"* 20), et l'on v remplacerait deux des facteurs /i, k, h\ . . . pailles valeurs (2/i) et le troisième par la valeur (i3).

Si l'on considère la petitesse des coefficients produits, au second ordre , par les formules [27] dans les longitudes et les rayons vecteurs, coefiîcients dont Tenseml^le constitue le tableau XLVll (p. 90), on conçoit que les termes du troisième ordre qu'on obtiendrait par les nouvelles formules seront entièrement négligeables, ce que j'ai du reste constaté partiellement.

Les nouvelles formules ne pomTalent non plus produire que des résultats insignifiants dans la recherche des termes du quatrième ordre des longitudes moyennes. Si fon considère, en effet, les termes des longitudes movennes ol)tenus, au second ordre par l'emploi des formules [9], au troisième ordre par l'emploi des formules [27], on voit que les coefficients correspondants deviennent au moins dix fois plus petits quand on passe du second ordre au troisième ; il y a lieu de supposer que la même loi de décroissance se maintiendrait dans le passage au quatrième ordre, et fpie les nouveaux coefficients seraient tout à fait négligeables.