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INEGALITES DES LONGITUDES ET DES RAYONS VECTEURS, DU QUATRIÈME ORDRE PAR RAPPORT AUX MASSES.
24. Il est nécessaire, au degré d'approximation que nous poursuivons, d'avoir égard aussi, pour chacun des trois premiers satellites, à quelques inégalités qui dépendent de la quatrième puissance de la force perturbatrice ; ce sont :
i*' les inégalités des longitudes moyennes, du premier degré et d'argument il —l — gt—- ^\
2" les inégalités des longitudes et des rayons vecteurs , de degré zéro et présentant les arguments des grandes inégalités respectives.
Si l'on considère, en effet, les termes de ces deux espèces obtenus successivement en s' arrêtant au premier ordre par rapport aux masses, puis au second ordre et au troisième, on voit que, quand on passe d'un ordre au suivant, les nouveaux coefficients sont des
fractions des précédents au moins égales à — • il } «^ YiQW. de penser,
d'après cela, que Ton trouvera encore dans le quatrième ordre, surtout parmi les termes de la deuxième espèce, quelques coefficients , relatifs aux longitudes , qui approcheront de i ".
a. Inégalités des longitudes moyennes.
On peut obtenir, dam les longitudes moyennes, des inégalités du (jualiième ordre ç^ui présentent cinq petits diviseurs. H suffit pour cela
de prendre, dans les expressions de ^,, ^~~-, -Â-, certains termes
choisis et d'y introduire trois petits diviseurs par les variations des éléments : fintégration y amènera deux autres petits diviseurs, si l'argument final est fun des angles il'—l, 2/"—/', ou de leurs multiples. Pour ne pas dépasser le premier degré relativement aux
excentricités, on ne devra faire varier que les éléments /r, A, k\ . . . , et, pai^mi les variations de ces éléments, on ne devra employer que celles qui sont de degré zéro ou du premier degré, et qui en même temps présentent de petits diviseurs, c'est-à-dire celles dont Targument est 2l'—l ou 4/'— 2/, ou peut se ramener à l'un de ces deux angles. 11 faut d'après cela que fargumcnt du terme de départ soit lui-même un multiple de 2/'— / ou de 2/'— /'.
Parmi les inégalités de degré zéro des éléments h,k, li\ . . . , nous devrons employer, outre les formules (2 A) et (00) ( 1 '"'^ partie , p. 66 et 99), des formules analogues, dépendant du cube de la force perturbatrice, que nous écrirons sous la forme
1 crA =Lsin(2/'— /) , S^/." =L cos( 2 /'—/),
[33] ^// = -L'sln(2/'-/), ^A'^^-L'cos (2 /'-/),
( ar//'=-L"sin(2r-/'}, 3-r=-L"cos(2r-/'}.
On obtiendra les valem^s numériques des nombre?' positifs L , L', L ", qui sont de simples rapports, en prenant dans le tableau LU (p. 107) les coefficients
-8",638, -i6",9oo -9.'\(jhf\,
obtenus pom- les longitudes, et les midtipliant par - arc 1" (au signe près) : on trouve ainsi pour ces nombres les logarithmes suivants :
Quant aux inégalités des éléments A, /. , //', . . ., qui dépendent des excentricités, nous les réduirons auK formules [9] et [27] (voir plus haut, p. 65 et 89), les formules analogues que fon pourait obtenir dans le troisième ordre ayant des coefficients trop petits, comme il a été dit ci-dessus à la fin du numéro 2 3. Enfin nous ferons aussi u.sage des formules ( i3) (i""" partie, p. 09).
Sav. étrang. t. X\\. — N" 1. !->
Observons que les coefficients B, B', B" des formules (24) et les coefficients x, x\ x" des formules [9] dépendent de la première puissance des masses et présentent un petit diviseur; que les coefficients D, D', D" des formules (00) et les coefficients j, y\ y" des formules [27] sont du second ordre et présentent deux petits diviseurs; enfin, que les coefficients L, L', L" des formules [33] sont du troisième ordre et présentent trois petits diviseurs.
Cela posé, occupons-nous d'abord du premier satellite et considérons successivement les termes de -~ qui présentent les arguments
2/'—/, [il'—il,
4/"-/, Sl'-àl.
Les termes du
lier desré en 2/'— / ne donnent rien.
premiv-x ^^^.
Les termes du second degré en lil'— 2/, dont fexpression a été donnée plus haut par la formule [29] (p. g II), fourniront de trois manières différentes des termes de l'espèce cherchée, quand on remplacera dans les expressions k' — /«^, ikh, . . . chacune des quantités h , k , II' , . . .
1" par la somme des valeurs (2/1) et des valeurs [27];
2" par la somme des valeurs (5o) et des valeurs [9];
3" par la somme des valeurs [33] et des valeurs (i3).
Désignant par la caractéristique Sl^ les inégalités du quatrième ordre, on obtient la formule
ô7r]B+(o^B')j4-'-^((rg)B + [r^B')y
[ji — 211' + ^
D+ r5:i)D') ,r- ^ (cî;^ D-f [i;^D') .t'
" — jn y a '~ —
-[-(^L-fro^L')- !!iV^'((Î^L-f[T^L')V
m \Ja —
xMsin(2r-/-7/-|S),
THEORIE DES SATELLITES DE JUPI'rEI\. HT)
laquelle donne, pour les (jualrc valeurs de ry, les eoeflicients respectifs
o",oo3, — o",o5i, — o'/iyy, — o", i48.
Considérons maintenant les termes du troisième deoré, et en premier lieu ceux qui dépendent de Tangle 6/'— 3/, dont l'expression a été donnée plus haut par la formule [3i] (p. 9G). On peut les traiter d'abord par les formules (2/1) et [9], et cela de deux manières différentes :
1° en mettant dans les facteurs du second degré la somme des valeurs (24) et [9], et dans ceux du premier degré les valeurs (2/1);
2° en mettant dans les facteurs du second degré les valeurs ( 2 /| ) , et dans ceux du premier degré les valeurs [9].
On peut les traiter aussi par l'emploi simultané des formules (24^), (5o) et ( 1 3), et cela de trois manières différentes. On obtient ainsi l'inégalité
, (3EB2+2FBB' + GB'2)^-(FB^+2GBB'+3HB'^)a;'
\§p^, '^ — - +2r3EBD + F(BD' + B'D) + GB'D'l '
( -2[FBD + G(BD'+B'D) + 3HB'D']>'
d'où résidtent, pour les quatre valeurs de g, les coefficients respectifs 0,007, —0,097, —0,275, — o,ia7-
Les termes du troisième degré en 2l'—l, dont l'expression a été donnée plus haut (formule [3o], p. 96), traités comme les précédents, conduisent à la formule analogue
|[PB2-2SBB'+(Q-T)B'2]^+[(R-S)B-^-2TBB'+UB'-].r'
S^P = -: ^^-— J + 2rPBD-S(BD'+B'D) + (Q-T)B'Dn [
