XXII INTRODUCTION

dos n lettres prises s -as sera le coefficient de la puissance s de la première lettre dans le développement de ce binôme : on aura donc ce nombre par la formule connue du binôme.

On aura égard à la situation respective des lettres dans chaque combinaison en observant que, si l'on joint une seconde lettre à la première, on peut la placer au premier et au second rang, ce qui donne deux combinaisons. Si l'on joint à ces combinaisons une troisième lettre, on peut lui donner dans chaque combinaison le premier, le second et le troisième rang, ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres, en tout, six combinaisons. De là il est facile de conclure que le nombre des arrangements dont ^ lettres sont susceptibles est le produit des nombres depuis l'unité jusqu'à s; il faut donc, pour avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier parce produit le nombre des combinaisons des n lettres prises * à *, ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient du terme du binôme qui exprime ce nombre.

Imaginons une loterie composée de n numéros, dont r sortent à chaque tirage : on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés dans un tirage. Pour y parvenir, on déterminera le nombre des combinaisons des n numéros pris 5 à ^. Ensuite on déterminera le nombre des combinaisons de r numéros pris semblablement ^ à 5. Le rapport de ce dernier nombre au précédent est évidemment la probabilité que les s numéros donnés seront compris dans les rnuméros qui doivent sortir; ce rapport est donc la probabilité demandée. Ainsi, dans la loterie de France, formée, comme on sait, de 90 numéros dont 5 sortent à chaque tirage, la probabilité de la sortie d'un extrait donné est ^ ou :j^; la loterie devrait donc alors, pour l'égalité du jeu, rendre 1 8 fois la mise. Le nombre total des combinaisons 2 a 2 de 90 numéros est 4oo5, et il en sort 10 à chaque tirage. La probabilité de la sortie d'un ambe donné est donc j^^, et la loterie devrait rendre alors 4oo fois et demie la mise; elle devrait la rendre 11 748 fois pour un terne, 5iio38 fois pour un quaterne, et 43949268 fois pour un quine. La loterie est loin de faire aux joueurs ces avantages.

INTRODUCTION. xxirr

Supposons dans une urne a boules blanches et h boules noires, et qu'après en avoir extrait une boule on la remette dans l'urne : on demande la probabilité que, dans le nombre n de tirages, on amènera m boules blanches et w — m boules noires. Il est clair que le nombre de cas qui peuvent arriver à chaque tirage est a -\-h. Chaque cas du second tirage pouvant se combiner avec tous les cas du premier, le nombre de cas possibles en deux tirages est le carré du binôme a-\- h. Dans le développement de ce carré, le carré de «exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux fois une boule blanche; le double produit de a par h exprime le nombre des cas dans lesquels une boule blanche et une boule noire sont amenées; enfin le carré de h exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux boules noires. En continuant ainsi, on voit généralement que la puissance n du binôme a-\-h exprime le nombre de tous les cas possibles dans n tirages, et que, dans le développement de cette puissance, le terme multiplié par la puissance m de a exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener m boules blanches Qi n — m boules noires. En divisant donc ce terme par la puissance entière du binôme, on aura la probabilité d'amener m boules blanches et /i — m boules noires. Le rapport des nombres «et a -h h étant la probabilité d'amener une boule blanche dans un tirage, et le rapport des nombres b eta-h b étant la probabilité d'amener une boule noire, si l'on nomme y? et q ces probabilités, la probabilité d'amener m boules blanches dans n tirages sera le terme multiplié par la puissance m dep dans le développement de la puissance n du binôme p -h q : on peut observer que la somme p -h q est l'unité. Cette propriété remarquable du binôme est très utile dans la théorie des probabilités.

Mais la méthode la plus générale et la plus directe pour résoudre les questions de probabilité consiste à les faire dépendre d'équations aux difi'érences. En comparant les états successifs de la fonction qui exprime la probabilité, lorsque l'on fait croître les variables de leurs différences respectives, la question proposée fournit souvent un rapport très simple entre ces états. Ce rapport est ce que l'on nomme équation aux diffé-