XXIV INTRODUCTION

rcnces ordinaires ou partielles : ordinaires, lorsqu'il n'y a qu'une variable ; partielles, lorsqu'il y en a plusieurs. Donnons-en quelques exemples.

Trois joueurs, dont les forces sont supposées les mêmes, jouent ensemble aux conditions suivantes. Celui des deux premiers joueurs qui gagne son adversaire joue avec le troisième, et, s'il le gagne, la partie est finie. S'il est vaincu, le vainqueur joue avec l'autre, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres, ce qui termine la partie. On demande la probabilité que la partie sera finie dans un nombre quelconque ji de coups. Chercbons d'abord la probabilité qu'elle finira précisément au coup n. Pour cela, le joueur qui gagne doit entrer au jeu au coup /i — i et le gagner, ainsi que le coup suivant. Mais si, au lieu de gagner le coup n — i, il était vaincu par son adversaire, celui-ci venant de gagner l'autre joueur, la partie finirait à ce coup. Ainsi la probabilité qu'un des joueurs entrera au jeu au coup n — i ai le gagnera est égale à celle que la partie finira précisément à ce coup; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant pour que la partie se termine au coup n, la probabilité de ce dernier cas ne sera qu'un demi de la précédente. Cette probabilité est évidemment une fonction du nombre /i; cette fonction est donc égale à la moitié de la même fonction, lorsqu'on y diminue ji de l'unité. Cette égalité forme une de ces équations que l'on nomme équations aux différences finies ordinaires .

On peut déterminer facilement, à son moyen, la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir au plus tôt qu'au second coup, et pour cela il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui a gagné son adversaire gagne au second coup le troisième joueur; la probabilité que la partie finira à ce coup est donc i. De là, en vertu de l'équation précédente, on conclut que les probabilités successives de la fin de la partie sont ^ pour le troisième coup, ^ pour le quatrième,..., et généralement { élevé à la puissance n — i pour le /i'^™^ coup. La somme de toutes ces puissances de - est l'unité moins la dernière de ces puis-

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sances : c'est la probabilité que la partie sera terminée au plus tard dans n coups.

Considérons encore le premier problème un peu difficile que l'on ait résolu sur les probabilités, et que Pascal proposa de résoudre à Fermât. Deux joueurs A et B, dont les adresses sont égales, jouent ensemble avec la condition que celui qui le premier aura vaincu l'autre un nombre donné de fois gagnera la partie, et emportera la somme des mises au jeu; après quelques coups, les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie; on demande de quelle manière cette somme doit être partagée entre eux. Il est visible que les parts doivent être proportionnelles aux probabilités respectives de gagner la partie; la question se réduit donc à déterminer ces probabilités. Elles dépendent évidemment des nombres de points qui manquent à chaque joueur pour atteindre le nombre donné. Ainsi la probabilité de A est une fonction de ces deux nombres que nous nommerons indices. Si les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus (convention qui ne change point leur sort, pourvu qu'après ce nouveau coup le partage se fasse toujours proportionnellement aux nouvelles probabilités de gagner la partie), alors, ou A gagnerait ce coup, et dans ce cas le nombre des points qui lui manquent serait diminué d'une unité; ou le joueur B le gagnerait, et dans ce cas le nombre des points manquant à ce dernier joueur deviendrait moindre d'une unité. Mais la probabilité de chacun de ces cas est^; la fonction cherchée est donc égale à la moitié de cette fonction, dans laquelle on diminue de l'unité le premier indice, plus à la moitié de la même fonction dans laquelle le second indice est diminué de l'unité. Cette égalité est une de ces équations que l'on nomme équations aux différences partielles .

On peut déterminer, à son moyen, les probabilités de A en partant des plus petits nombres, et en observant que la probabilité ou la fonction qui l'exprime est égale à l'unité, lorsqu'il ne manque aucun point au joueur A, ou lorsque le premier indice est nul, et que cette fonction devient nulle avec le second indice. En supposant ainsi qu'il ne manque qu'un point au joueur A, on trouve que sa probabilité est ^,

OEuvres de A,. — VII. /