LIVRE PREMIER
on aura ainsi
ill-TSsI-lT
L'intégrale relative à x devant s'étendre entre les deux limites qui rendent nulle la quantité — > il est clair que l'intégrale relative à ct doit s'étendre depuis cj = — oo jusqu'à ct = oo ; en réunissant donc
les deux quantités
:=777 et
,BJV'— 1
Il — rs sj — l)^ (fJtH-GTy/
mêmes valeurs de ts affectées de signes contraires, on aura
^) qui répondent aux
dxc~^ c^ \l —
fdm
coscj
{lx.-)-m^-iY+(^ — Ts\J'—i\
+ v'— I sinro
l'intégrale relative à ci étant prise depuis zs = o jusqu'à ci = oo . Si l'on développe les quantités sous le signe /, les imaginaires disparaissent, et il ne reste qu'une fonction réelle que nous désignerons par Qdzs; on aura ainsi
^ dxc^^ __ c^ sj—i
fQdn^;
partant
i)s-\>-/ '^/Qduj
Voyons présentement quelle fonction de s est y.,. Pour cela, reprenons l'équation primitive
en y changeant s dans — s, et faisant y s = "j, elle devient
0 = {S —l)Us-i- Us-i, .
équation dont l'intégrale est
i-iV-v-Y
Us
fx(l+^)(2-4-^)...(4
Y étant, comme ci-dessus, égal à y^. Si l'on compare cette expression de Y-s à la précédente, et si l'on observe que s — [j. est un nombre entier et qu'ainsi l'on a (— i)^*-^^-— i, on aura
y. Jl-KC^-V- I 1- -jT^-T, — • • • )
En divisant les deux membres de cette équation par s et les renversant
ensuite, on aura
(p. 4- i) (f/ -f- 2) (fx 4- 3). . .5 = '-^--':L^ ( 1 + ^ -, . . . Wq dm.
Si l'on compare cette équation à la formule (q') du numéro précédent, on a ce résultat remarquable
Je suis parvenu à cette équation générale dans les Mémoires de V Académie des Sciences pour l'année 1782, par l'analyse précédente, fondée, comme on voit, sur le passage du réel à l'imaginaire. En faisant successivement, dans Q, \j.=^i, [a = 2, jj. — 3, .,., on aura les valeurs d'un nombre infini d'intégrales définies; ainsi, dans le cas de [j. = i, l'équation (0) donne
Vgt (cosGj -f- Gjsincï) tt
formule que j'ai donnée pareillement dans les Mémoires cités. Cette formule et toutes celles du même genre peuvent se vérifier par les formules du n° 26; car on a, par ce numéro.
1 + 7J5- ic J i-\-m^
Nous observerons ici, comme dans les Mémoires cités, que / — ^ étant égal à -. ,^ /Q ^/w, on a, en substituant au lieu de /Q dvs sa va-
âxc-'"^
