LIVRE PREMIER
En multipliant ces deux équations l'une par l'autre, on aura
( . - a^) (4 - fx^) . . . [s'-^ - f.2) = jF^dt^^cjt,r^^r-
L'équation (T) du n« 24 donne
^ , if— Ott
sm 7r
En faisant n= i et>j. = r—i, on a
f/TT
ftvdtc-^ ft-'^dtc-t =
•^ -^ sin fZT:
on a donc
Si l'on fait [j. infiniment petit, cette équation donne
divisant donc l'équation précédente par celle-ci, on aura
Si l'on fait s' infini, on a pour l'expression de sino, 9 étant égal à [7-, le produit infini
l'expression de sin9 est ainsi décomposable dans une intinité de facteurs, ce que l'on sait d'ailleurs.
En supposant 9 imaginaire et égal à 9' y/— i, sin 9 devient
on a donc
e"v — cr
c.'c-,'=.cp'(, + ï,)(,-H^-,,)(.-.3V^j ... ..-^.^^,W, ^^.
et en faisant s' infini, on voit que c?'— c-?' est égal au produit infini
2\ / çp'2
On aura, par un procédé semblable, le produit continu de facteurs dont le terme général est une fonction rationnelle entière ou fractionnaire de s. Mais l'expression à laquelle on parviendra pourra contenir d'autres transcendantes dépendantes d'intégrales définies de la forme
On peut observer ici que, ces produits étant mis sous la forme Jœ'(^dx, leur différentiation par rapport à la variable s présente une idée claire, et alors on a pour cette différentielle fx'(^dx \o^x.
Les expressions de y, données par les formules [q) et (q') du numéro précédent ont encore lieu, suivant la remarque du n" 30, dans le cas où ^ et (x sont négatifs, quoique dans ce cas l'équation
qui détermine les limites de l'intégrale définie qui représente la valeur de j„ n'ait pas plusieurs racines réelles. Si, dans la formule [q] du numéro précédent, on change s dans — * et [j. dans — fx, elle devient
Yv^-ic^V27r(i —+ — ^ -■■■\
Y étant la valeur de y qui répond à 5 = - fx. Toute la difficulté se ré-
1 • > • r dx c~-^
duit a intégrer / ^j, • Pour y parvenir, il faut suivre le même procédé dont on a fait usage pour réduire en série l'intégrale Je-'^x'dx. On fera donc
X =^ — ft -H CJ \l — I,
— ;x étant la valeur de x donnée par l'équation
