Considérons maintenant l'équation générale
o = [a'-{- b's)xs+i— [a + bs)xs.
Si l'on fait
elle prend cette forme
Supposons
nous aurons, en intégrant par parties,
o = x' (p{x — p) -hj'x'-* [ o dx{n'x — np) + {p — x)x d^ J. Cette équation donne, pour déterminer ^, la suivante
o = '[n'x — np) cp dx -\- [p — x) X f/(p, d'où l'on tire, en intégrant,
(f = Ax"{p — x)"'-",
A étant une constante arbitraire. On aura ensuite, pour déterminer les limites de l'intégrale, l'équation
ou
Œuvres de L. — VII. 13
Ces limites sont donc ce = o et x = p, si n -h s et n'-f- 1 — n sont des quantités positives. Ainsi l'on aura, en prenant l'intégrale dans ces
limites,
Xs = A/x«^^-' dx [p — ^ )«'-«.
On déterminera la constante A, au moyen d'une valeur particulière de Ys. Soit j(j. cette valeur; on aura
A ^ Tn^ ^ .
Jx''-^V--^dx[p — x)"'-"^
par conséquent,
X^fx"+'~^ dx{p — xY'->^
Ts-
fa;"-^\i.-i (Ix [p — x)«'-«
Intégrons présentement l'équation proposée aux différences en j^. Son intégrale est
(rt+u){«-f-a-4-i]...f/l4-5— 0
Dans cette expression, comme dans toutes celles formées de produits, les facteurs du numérateur ne commencent que pour la valeur de s qui rend le dernier facteur égal au premier, ce qui a lieu ici lorsque s est égal à (X 4- I ; il en est de même des facteurs du dénominateur. Pour la valeur de s égale à «x, le numérateur et le dénominateur se réduisent à l'unité qui est censée les multiplier l'un et l'autre. Si l'on compare les deux expressions précédentes de j^, on aura
A? -+- a) (/7 + u H- i). . .(n + 5 -- i) ç,j^ /•^""^•^~' dx{p — .r)«'-« n' 4- II.
I ! i : ijS-\t. ^^ '' il '-
i]{n' -\-^ + 'i.]..Jn'^s)^ J'x>^+V--^dx[p — ^)«'-«
Faisons p — x = pu-\ le second membre de cette équation deviendra
ri.Ç-{J. 'L ^ l ,
les intégrales étant prises depuis m = o jusqu'à m — i , parce que ces limites répondent aux limites ^ ==/? et a? — o. On a donc
[n +|a) ( /t + ;7. -4- i ) . . . ( n + 5 — i ) fu^n'-2n^\ flg ( i ;/2 )«+^-t [n -\- u.-]~ i][ n' -h a -{- 2). , .[n' -\- s) ~~ /;<-«'--«-*-< du ( i — «^ j«+[x--i
