LIVRE PREMIER

Supposons n^-{, n'=o et [/. == i ; si l'on observe que

Jdu y'i — u- =:{îr, ou aura

■Jdu[i — u^

S-^\][S-hl)...O.S -X CI..,. ..9\- î

Le premier membre de cette équation est le coefficient du terme moyen, ou indépendant de a, du binôme (^ +«) î on aura donc, au moyen des méthodes précédentes, ce coefficient par une approximation rapide, lorsque s est un grand nombre. Pour cela, nous ferons

r.-af»

ce qui donne et

Supposons

En prenant les différences logarithmiques des deux membres de cette équation, on aura

et ce dernier membre est égal à

tii \ r. ^7 -+-...)

On aura donc, en comparant cette quantité au premier membre et réduisant au même dénominateur, l'équation générale

0=2/ oCn l'-IT- ^ n(/-0 + iL-| g(i~2) -^ ~-9 ^(--5, ^ 1.2^ 1.2.3' I .2.3.4

q^""^ étant égal à l'unité. Si l'on fait successivement dans cette équation i—i, iz=ii, i = 3, ..., on aura les valeurs successives ^''^ q^'^\ q^^\ ..., et l'on trouvera

On aura ensuite

L'intégrale relative à u devant être prise depuis a = o jusqu'à u— r, l'intégrale relative à / doit être prise depuis t nul jusqu'à t infini; on aura donc, par le n" 24,

fdu[i — u^) 2

partant,

Ainsi l'on aura, par une suite très convergente, le terme moyen, ou

indépendant de «, du binôme (- +«) .

On parviendra plus simplement à ce résultat par la méthode suivante, qui peut s'étendre à un polynôme quelconque.

35. Nommons y, le terme moyen, ou indépendant de a, du binôme \â'^^) ' ®"' ^^ ^^^ revient au même, le terme indépendant de r-^^v/-' dans le développement du binôme {c'^\'~* -\- c~'^^'^y\ Si l'on multiplie ce développement par dvs et qu'on l'intègre depuis cr nul jusqu'à CT = iTC, il est facile de voir que cette intégrale sera ^ -7,, et qu'ainsi l'on a