LIVRE PREMIER

On déterminera de la même manière le terme moyen d'un polynôme quelconque, élevé à une très haute puissance. Supposons d'abord le nombre des termes du polynôme impair et égal à 2/i + i, et représentons ce polynôme par

En substituante^^"' pour a, ce polynôme devient

I H- 1 ces CJ -I- 2 CCS 2 GT -1- ... -I- 2 COS H m ;

sin C7

or cette fonction est égale à t—-. ; la puissance s du polynôme

est donc

(. 2 /t + I \ * Sm TD \ 1— .

Le terme moyen de cette puissance est le terme indépendant de cj dans son développement en cosinus de l'angle tj et de ses multiples. On aura évidemment ce terme en multipliant la puissance par dzj, en prenant ensuite l'intégrale depuis ni — o jusqu'à cr = r et en la divisant par -. Ce terme est donc égal à

/ sm ■ C3 \

ifdJ-..-^.^ — ).

. 2 n -h I siii rx5

La condition du maximum de r—, donne l'équation

sm^Gj ^

tang cj= (2w -f- 1) lang^Gi.

H y a, depuis cj nul jusqu'à u = r, plusieurs maxima, alternativement positifs et négatifs. Le premier répond à n nul et donne

lU THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Pour avoir l'intégrale précédente, depuis ce maximum jusqu'au point

sm Gï

où r-ï est nul, ce qui a lieu d'abord lorsque w = » on

fera

/ sm Ts \

[ ^^ )={in + iYc-^\

\ sm^cT /

En prenant les logarithmes et réduisant en série, relativement aux

puissances de cr, la fonction

sin rn

s log — , 5

ce qui donne

-^ — ' sxn- -{-. . .= i-,

dt\l6 ans =

\/n{n -\-i)s l'intégrale précédente devient ainsi

dts/6

TT J sjn[n-hi)s

Elle doit être prise depuis / nul jusqu'à t infini; car à l'origine, ou

lorsque cr est nul, t est nul, et à la limite, où cj = ? t est infini;

cette intégrale devient donc, en ne considérant que le premier terme et négligeant les suivants, qui sont par rapport à lui de l'ordre -.

[in -hiY s/3

\/n[ii-\-r)'2sn

Le second maximum est négatif, et répond à une valeur de --- — ct comprise entre f:: et f tt. En effet, l'équation du maximum /

lang ro= (2 7i + i) langlrar