LIVRE PREMIER. Hi

En effet, en développant le binôme renfermé sous le signe/, et substituant, au lieu de c^'^'-^s/^, sa valeur cos2m ± /-^ sinam, on aura le terme moyen du binôme, plus une suite de cosinus de l'angle 2ct et de ses multiples; en les multipliant par drz et les intégrant, cette suite se transformera dans une suite de sinus de l'angle 2ct et de ses multiples, sinus qui sont nuls aux deux limites w = o et ^ = ~t.. Il ne restera ainsi dans l'intégrale que le terme moyen du binôme, multiplié par ^tt. Cela posé, si l'on substitue, au lieu du binôme ^CT^, j ^nTv/-i^ gjj valeur 2 cosct, on aura

en supposant sinw = u, on aura

rs=-^-J'du[i-u'^) \

l'intégrale étant prise depuis u = o jusqu'à u=i, ce qui coïncide avec ce que l'on a trouvé dans le numéro précédent.

Considérons maintenant le trinôme ('-^ -h [ + «V', et nommons y, le terme moyen, ou indépendant de a, dans le développement de ce trinôme. Ce terme sera le terme indépendant de c-^\/~ dans le développement du trinôme (c^^ + r + c-^v^^)'; on aura conséquemment, en appliquant ici le raisonnement qui précède,

r^ = - /c^ro ( I + ?. ces Gj )^

l'intégrale éta«t prise depuis ci = o jusqu'à cj = -. La condition du maximum de la fonction (i h- 2cosa)^ donne sinCT=-- o, en sorte que les deux limites de l'intégrale, ct = o et rT=:-, répondent à. des maxima de cette fonction; on partagera donc l'intégrale précédente dans les deux suivantes

fdxs[i + o cosgt)^ (— \YJdm[icosxs - I)^

la première de ces intégrales étant prise depuis cr nul jusqu'à la valeur

<]p rr qui rend nulle la quantité 2C0Scy-f-i, et la seconde intégrale étant prise depuis cr = o jusqu'à sa valeur qui rend nulle la quantité

2 COSCî — I .

Pour obtenir la première intégrale en série convergente, on fera

(i +2C0Sct]^= 3^0-^';

en supposant a = -, extrayant la racine s de chaque membre, et développant costT et c~°'^', on aura

d'où l'on tire, par le retour des suites,

partant,

fdr.[^ + a cosr^)^= V*^'^''"^ (' ~ "^' ""'■ ■ '^ ■

L'intégrale relative à / doit être prise depuis t nul jusqu'à t infini; on aura donc

On trouvera de la même manière

\'rL /S \

aura donc

rs =

2 y'STT •

s étant supposé un très grand nombre, cette quantité se réduit à très

peu près à ^— ^- C'estTexpression fort approchée du terme moyen, ou

indépendant de a, du binôme (^ + ^ + «