XXVI INTRODUCTION

1, -, . . . , suivant qu'il manque à B un point, ou deux, ou trois, etc. Généralement, elle est alors égale à l'unité moins la puissance de i, égale au nombre des points qui manquent à B. On supposera ensuite qu'il manque deux points au joueur A, et l'on trouvera sa probabilité égale à 1, i, il, . . , , suivant qu'il manque à B un point, ou deux, ou trois, etc. On supposera encore qu'il manque trois points au joueur A, et ainsi de

suite.

Cette manière d'obtenir les valeurs successives d'une quantité au moyen de son équation aux différences est longue et pénible. Les géomètres ont cherché des méthodes pour avoir la fonction générale des indices qui satisfait à cette équation, en sorte que l'on n'ait besoin, pour chaque cas particulier, que de substituer dans cette fonction les valeurs correspondantes des indices. Considérons cet objet d'une manièregénérale.Pourcela, concevons une suite de termes disposés sur une ligne horizontale, et tels que chacun d'eux dérive des précédents suivant une loi donnée. Supposons cette loi exprimée par une équation entre plusieurs termes consécutifs et leur indice ou le nombre qui indique le rang qu'ils occupent dans la série. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies à un seul indice. L'ordre ou le degré de cette équation est la différence du rang de ses deux termes extrêmes. On peut, à son moyen, déterminer successivement les termes de la série et la continuer indéfiniment ; mais il faut pour cela connaître un nombre de termes de la série égal au degré de l'équation. Ces termes sont les constantes arbitraires de l'expression du terme général de la série, ou de l'intégrale de l'équation aux différences.

Concevons maintenant, au-dessus des termes de la série précédente, une seconde série de termes disposés horizontalement; concevons encore, au-dessus des termes de la seconde série, une troisième série horizontale, et ainsi de suite à l'infini, et supposons les termes de toutes ces séries, liés par une équation générale entre plusieurs termes consécutifs, pris tant dans le sens horizontal que dans le sens vertical, elles nombres qui indiquent leur rang dans les deux sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à deux indices.

INTRODUCTION. xxtii

Concevons pareillement, au-dessus du plan des séries précédentes, un second plan de séries semblables, dont les termes soient placés respectivement au-dessus de ceux du premier plan; concevons ensuite, au-dessus de ce second plan, un troisième plan de séries semblables, et ainsi à l'infini; supposons tous les termes de ces séries liés par une équation entre plusieurs termes consécutifs, pris dans les sens de la longueur, de la largeur et de la profondeur, et les trois nombres qui indiquent leur rang dans ces trois sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à trois indices.

Enfin, en considérant la chose, d'une manière abstraite et indépendante des dimensions de l'espace, concevons généralement un système de grandeurs qui soient fonctions d'un nombre quelconque d'indices, et supposons, entre ces grandeurs, leurs différences relatives à ces indices et les indices eux-mêmes, autant d'équations qu'il y a de ces grandeurs : ces équations seront aux différences finies partielles à un nombre quelconque d'indices.

On peut, à leur moyen, déterminer successivement ces grandeurs. Mais de même que l'équation à un seul indice exige pour cela que l'on connaisse un certain nombre de termes de la série, de même l'équation à deux indices exige que l'on connaisse une ou plusieurs lignes de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire d'un des indices. Pareillement, l'équation à trois indices exige que l'on connaisse un ou plusieurs plans de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire de deux indices, ainsi de suite. Dans tous ces cas, on pourra, par des éliminations successives, déterminer un terme quelconque des séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine étant comprises dans un même système d'équations, toutes les expressions des termes successifs que l'on obtient par ces éliminations doivent être comprises dans une expression générale, fonction des indices qui déterminent le rang du terme. Cette expression est l'intégrale de l'équation proposée aux différences, et sa recherche est l'objet du Calcul intégral.

Taylor est le premier qui, dans son Ouvrage intitulé Methodus incre-