LIVRE PREMIER

42. On a souvent besoin, dans l'analyse des hasards, de ne considérer dans l'expression de A"s' que la partie dans laquelle les quantités élevées à la puissance «sont positives. Nous allons déterminer la somme de tous ces termes. Pour cela, reprenons la formule (;/") du numéro précédent. Si l'on y substitue au lieu de A''^' sa valeur

[s + nY~n[s + n — \Y-\ ^ — ^ — '• [s -\- n — 2)' — . . .,

et si l'on y change ensuite s dans — s, on aura, en ne continuant les deux séries du premier membre de l'équation suivante que jusqu'aux termes dans lesquels la quantité élevée à la puissance i devient négative, et observant que le signe + a lieu si n est pair et le signe — si n est impair,

(—1)'^' . WTT . . , C

dx

Si l'on change dans la dernière intégrales en — ix'sj— i, elle devient, après toutes les réductions,

2«-(- ,p 7^'«-,-, dx' [cos(2. - n)^' - v^::r7sin(2. - «>'] (^-^'-S\

l'intégrale relative à x' étant prise depuis x' nul jusqu'à x' infini. On aura donc

. mil

— . — — 2«-' — I * sui - fxdxc-^

><fx'n-i~^dx'[cos[■ls~n)x'-^~l^m[:ts-n)x''\(^'~\\

OEuvrcs de L. — VII. 22

. , . ni .

Supposons r= /i — I , ce qui donne t = /i — i + -, et comparons séparément les parties réelles et les parties imaginaires de l'équation précédente. On a

l mm

or on a __

I ^ CCS 2 /tt + \/— I sin 2 Irc,

l étant un nombre entier; on aura donc

, /- -xlmr. /— . 2/m7r

i " =rcos \- \— I sin

Les valeurs correspondantes de (— i)" sont

ces 2/4- 1)- ^ 4- V — ' sm(2Z+i) -^-' n "■

Maintenant (i)' devant être supposé égal à l'unité dans l'équation (o),

ilimi j • "ilimz -,

il faut choisir /de manière que cos — — - 4- V— • sm--— soit i, ce qui

exige que l'on ait

ilrm:

/étant un nombre entier que nous pouvons supposer nul; alors on a

^ mic r — . rm:

— I " =cos H v'— • Sin -— -•,

mais on a

la partie imaginaire du premier membre de l'équation (o) est donc

— sj~\ sin

Déterminons la partie imaginaire du second membre de l'équation (o). On a