LIVRE PREMIER

— -— - depuis X ■--- y. jusqii à r inhni, on

9ura, en faisant i =- r-{ j la fonction

.(-■^iii" r'' ~ « -^ -^ «('•*- «)

ml rn\ l ni

- I -i 2 -f ) . . . i a" i , N "W "î \ / nx\ .1

ii\ n]\ n] f +f Or /,^ \ U| \ ...;^^

Or on a généralement, lorsque a. est infiniment petit,

/"étant zéro ou un nombre entier positif; car, si l'on développe ^ ^" en série, et que l'on désigne par koc'^s"^ un terme quelconque de cette série,

on aura

/ra«'-/A«5?+'-/ ~ o.

En effet, si q surpasse /, ce terme devient nul par la supposition de a infiniment petit. Si q est égal ou moindre que /, q ^- r — f sera égal ou moindre que /•, et, par conséquent, il sera plus petit que n, et alors, par la propriété connue des différences finies, A"^^^'" -^ sera nul. Il suit

de la que A" j --.-:- ou j ^~ '- se réduit a

dxc-^^

l'intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à infini. Si l'on faitoj on aura

/dxc-'-^' --1 rdx'c-^ — m- = ' / ^— '

If s intégrales étant prises depuis x et x' nuls jusqu'à x et x' infinis ; on aura donc

/' dx C~'-^ [C-'^ — l)n J x'"

1 • / ïTt\ ( ni\ ix^ doc c — '^ En substituant pour ( i -i ) ( ^ H ) . . . î sa valeur -'^-- , et ob-

^ "^^ "'^ fx''dxc-^

servant que l'on a, par ce qui précède,

- Jx' " dx' c-^' fx " dx c'-^ —

sin — t:

on aura la formule [{}'").

Si i est un très grand nombre, on aura, par le n° 33, l'intégrale

Jx^ dx c^ ;

on aura ensuite, par ce qui précède, l'intégrale

' dx c-"^ ( c--^ — iV^

ainsi l'on obtiendra, par une série très convergente, la valeur du second membre de la formule citée.

Ml

Supposons «infiniment petit, rsera nul, et— sera une fraction infiniment petite; on aura donc

sin — TT = — r. = it:, n n

A« (^-^) -- A«log5.

La formule (p/") donnera ainsi

A" \ogs = — /

c^-^dx ,

expression que l'on réduira facilement en série convergente, lorsque n est un grand nombre.