LIVRE PREMIER

la différence ^'^™^ d'une puissance quelconque d'une fonction rationnelle de s. Il suffit pour cela de réduire, par la méthode du n" 29, cette fonction à la forme ^x^<^dx. Mais on a vu qu'alors on parvient, pour déterminer ç, à une équation différentielle d'un degré égal au plus haut exposant de s dans cette fonction, et qui le plus souvent n'est pas intégrahle. On peut obvier à cet inconvénient au moyen de multiples intégrales, de la manière suivante.

Considérons généralement la fonction

Si dans l'intégrale /a?'"' dxc-'^^^P'>'^, prise depuis x nul jusqu'à x infini, on change {s -^ p)x en x', elle devient -, r-.fx''~*dx'c~'^', la nouvelle intégrale étant prise dans les limites précédentes. La comparaison

des deux intégrales donnera

\^ ~^ PY fx^-^dxc--^

Il suit de là que

fxi-^x'^'-^ x"i"-^ ...dx dx' dx" . . . c-p^-p'^'~p"^"—--^tv+x'+x"+...) 7:c'-< dxc-^f^i''^ dx' c--^' fx"i'^^dx" c-^'T7. '

toutes les intégrales étant prises depuis r, x', x", . . . nuls jusqu'à leurs valeurs infinies; on aura donc

[s+pY[s-r-p'Y'...

__ Jx^-^x'i'-^ . . . dxdx'. . .c-P''-p'^'---six+x'-^...)i^c-x-x'-...__ ,)« /x'-' dxc'-^fx'^'-* dx' c-^' . . .

On réduira facilement en séries convergentes, par la méthode du n'' 40, le numérateur et le dénominateur de cette expression, et si l'on change dans ces séries les signes de i, i', ..., on aura la valeur très

approchée de

A"{s + pY{s + p'y'...,

n, i, i', . . . étant supposés de très grands nombres. On trouvera par le numéro cité

^''[s + pY[s-\' p'Y . ..

«, a', ... étant déterminés par les équations

l + I wc«

Le cas le plus ordinaire est celui dans lequel les exposants i, i', i'\ . . . sont égaux, et s -\- p, s -i- p', . . . forment une progression arithmétique. On peut obtenir alors, par la méthode suivante, la différence finie de leur produit élevé à une haute puissance.

Considérons la différence A"[*(^ — i)]'. Si l'on fait;? = .?' + {, elle dcvieut

En développant cette fonction en série, on a

Les formules du n"" 40 donneront la valeur approchée de chacun des termes de cette série, et l'on voit, par ces formules, que, n et i étant de très grands nombres, A"^-'~^ est d'un ordre moindre de deux unités que \"s^', d'où il suit que chaque terme de la série précédente est d'un