LIVRE PREMIER

ordre inférieur d'une unité à celui qui le précède, ce qui montre la convergence de la série.

On arriverait au même résultat en résolvant, par approximation, l'équation différentielle du second ordre en o, à laquelle conduit la méthode du n° 29. Lorsqu'on suppose

on a

En faisant disparaître s' des coefficients de cette équation, par la méthode citée, dans les termes affectés du signe intégral, égalant ensuite à zéro la somme de ces termes et supposant ensuite, dans l'équation différentielle que l'on obtient ainsi, 9 égal à une suite ascendante par rapport aux puissances de x, on aura une série convergente. On aura ensuite

A" Is""- — \] =fc'^' ■>■■{€'■'' — i)"<p dx,

d'où l'on tirera une valeur en série do A" is'^ — -rj , et dans laquelle

il suffira de changer le signe de ? pour avoir la valeur de A" is''^ " 7) '

Cette manière de résoudre par approximation l'équation différentielle en ç, et que nous avons indiquée à la fin du n"^ 30, peut servir dans un grand nombre de cas où cette équation n'est pas intégrable exactement.

Remarque générale sur la convergence des séries.

44. Nous terminerons cette Introduction par une observation importante sur la convergence des séries dont nous avons fait un si fréquent usage. Ces séries convergent très rapidement dans leurs premiers termes; mais souvent cette convergence diminue et finit par se changer en divergence. Elle ne doit pas empêcher l'usage de ces séries, en n'employant que leurs premiers termes, dans lesquels la conver-

OEuvres de L. — VII. 23

gence est rapide; car le reste de la série, que l'on néglige, est le développement d'une fonction algébrique ou intégrale, très petite par rapport à ce qui précède. Pour rendre cela sensible par un exemple, considérons le développement en série, de l'intégrale Jdtc-^\ prise depuis t " T jusqu'à t infini. On a, par le n" 27,

■^ 2.T \ aT^' 22T* 23 T« ' )'

Cette série finit par être divergente, quelque grande que soit la valeur que l'on suppose à T; mais alors on peut employer sans erreur sensible ses premiers termes. En effet, si l'on considère, par exemple, ses quatre premiers termes, le reste de la série sera ''^'^''^ C^UlH. or cette quantité, abstraction faite du signe, est plus petite que le terme ~~^Y^ — ^^^^ précède, c'est-à-dire que l'on a

car on a

7 ; — --^ — = consl. 2 / .

En déterminant la constante de manière que l'intégrale soit nulle lorsque / = T, on aura -^r P^^'" ^^^^^ constante; on aura donc, en prenant l'intégrale depuis / = T jusqu'à t infini,

La série précédente peut donc être employée tant qu'elle est convergente, puisque l'on est sûr que ce que l'on néglige est au-dessous du terme auquel on s'arrête.

Cette série jouit encore de cette propriété, savoir, qu'elle est alternativement plus grande et plus petite que sa valeur entière, suivant que l'on s'arrête à un terme positif ou à un terme négatif. On peut nommer, par cette raison, ce genre de séries, séries limites. Au reste, on a vu dans le n° 27 que, dans le cas où elles sont divergentes, on