XXXII INTRODUCTION

le terme indépendant des caractéristiques. La même chose a lieu dans l'équation C égale B moins un, et encore dans l'équation B moins G égale un. En substituant S et A au lieu de B et de C, et élevant les deux membres de cette dernière équation à la puissance n, en développant ensuite le premier membre, l'égalité subsistera, pourvu que dans chaque terme on place la fonction de l'indice à la suite des puissances des caractéristiques S et A et des produits de ces puissances, et que l'on écrive cette fonction au lieu de l'unité dans le second membre, ce qui donne une expression de cette fonction au moyen de ses valeurs successives et de ses différences.

Si l'on applique les mêmes considérations à d'autres valeurs des multiplicateurs B et C, on est conduit à ce résultat général : quelles que soient les fonctions de la variable t représentées par B et C, on peut, dans le développement de toutes les équations identiques qui peuvent être formées entre elles, substituer, au lieu de ces fonctions, les caractéristiques correspondantes ^ et A, pourvu que l'on écrive la fonction de l'indice à la suite des puissances ou des produits de puissances des caractéristiques, et que l'on multiplie par cette fonction les termes indépendants des caractéristiques. En effet, il est visible que si, dans un terme quelconque du développement de l'équation entre B et C dont il s'agit, r est la puissance de B et r' celle de C, il faut, pour repasser des fonctions génératrices à leurs coefficients, écrire f^ au lieu de B, A au lieu de C, et placer le produit des puissances ret r' de ces caractéristiques devant la fonction de l'indice.

On doit observer ici que les équations entre les caractéristiques sont identiques, comme les équations correspondantes entre B et C. Ainsi la fonction de l'indice augmenté de l'indéterminée n par une série de différences est identique avec cette série : elle n'est au fond que cette fonction transformée. Mais c'est dans ces transformations que résident le pouvoir de l'Analyse et ses avantages. Si, par exemple, la nature d'une question conduit à regarder comme nulle la difïerence troisième d'une fonction, alors la série précédente se termine, et devient la fonction de n qui satisfait à cette condition et qui, par conséquent, est

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l'intégrale de l'équation que l'on obtient en égalant à zéro la troisième différence de la fonction. Cette intégrale renferme, comme constantes arbitraires, la fonction de l'indice et ses différences première et seconde, relatives au cas de n nul.

Concevons maintenant que A soit une fonction de deux variables / et t', développée dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de puissances de ces variables; le coefficient du produit de deux puissances quelconques sera une fonction des indices de ces puissances, dont A sera la fonction génératrice.

Multiplions A par une fonction B des deux variables t et t', développée par rapport aux puissances et aux produits de ces variables, telle, par exemple, que la première variable, plus la seconde, moins deux; le produit sera une nouvelle fonction génératrice, dans laquelle le coefficient du produit de deux puissances quelconques n et n' des mêmes variables sera égal à ce même coefficient dans A, en y diminuant d'une unité l'indice n de la première variable, plus à ce même coefficient dans lequel on diminue d'une unité l'indice Ji' de la seconde variable, moins le double de ce coefficient. On pourra exprimer ce nouveau coefficient par une caractéristique (î placée devant le coefficient de k. On verra, comme ci-dessus, que le coefficient correspondant dans le produit de A par une puissance quelconque de B sera exprimé par cette caractéristique toujours placée devant le coefficient de A, et à laquelle on donne pour exposant celui de la puissance de B. De là résultent des théorèmes analogues à ceux qui sont relatifs aux fonctions d'une seule variable.

On pourra développer d'une manière semblable une fonction quelconque de deux indices augmentés respectivement des indéterminées n et n\ dans une série ordonnée par rapport aux puissances d'une caractéristique : montrons-le par un exemple. Pour cela, conservons à B la valeur que nous venons de lui supposer. Dans ce cas, la première variable sera identiquement égale au trinôme deux moins la seconde variable plus B; la première variable, élevée à la puissance n prise en moins, sera donc égale à ce trinôme élevé ii la même puissance. Mul-

OEuvres (ie L, — VII. ^