XXXIV INTRODUCTION

tiplions les deux membres de cette égalité par la série A divisée par la puissance n' de la seconde variable, et développons le second membre. En repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients, celui du produit de deux puissances données des variables dans le premier membre sera ce que devient le coefficient du même produit dans A, lorsqu'on augmente ses indices respectivement des indéterminées n et/^'. Dans un terme quelconque du développement du second membre, le coefficient du même produit sera ce que ce terme devient en y substituant, au lieu de B, S affecté du même exposant et placé devant le coefficient de A, dans lequel on diminue le second indice, de l'exposant de la seconde variable que l'on supprime. Chaque terme indépendant de B doit être multiplié par le coefficient de A, dans lequel le second indice est pareillement diminué de l'exposant de la seconde variable que l'on supprime encore. On aura ainsi une fonction des indices augmentés respectivement de n et de n\ par une suite de puissances successives de ^ placées devant la fonction dans laquelle le second indice sera seul variable.

Si la fonction des indices est telle que, affectée de la caractéristique S, elle devienne nulle, alors le second membre se réduit à une suite de termes multipliés par la fonction des indices dont le second varie seul. Cette fonction est le développement du binôme deux moins un, élevé à la puissance n prise en moins, les termes successifs de ce développement devant être multipliés respectivement par la fonction des indices, dans laquelle on fait croître successivement le second indice des quantités /i', n! moins un, n' moins deux, etc. En considérant donc comme fonction des deux indéterminées n et n' la fonction précédente, dans laquelle les indices sont augmentés de n et de n\ cette fonction sera donnée par le développement du binôme deux moins un, élevé à la puissance n prise en moins, en multipliant respectivement les termes de ce développement par la même fonction dans laquelle on doit faire n nul, et n' successivement égal à n' , n' moins un, n moins deux, etc. : la fonction de n nul et de n' est une fonction arbitraire de n! , qui doit être déterminée par les conditions du problème.

INTRODUCTION. xxxv

Telle est donc l'intégrale de l'équation aux différences partielles, représentée par l'égalité à zéro de (^ placé devant une fonction de n et de II', et il est clair que, pour cette égalité, la fonction des indices dans A doit être telle qu'en y diminuant l'indice n de l'unité, en l'ajoutant à cette fonction dans laquelle n' est diminua de l'unité et en retranchant de cette somme le double de la fonction elle-même, le reste soit nul ; ce qui donne la fonction de n et de ti' égale à la moitié de cette fonction dans laquelle n est diminué de l'unité, plus à la moitié de la même fonction dans laquelle 7^' est diminué de l'unité. C'est l'équation aux différences partielles, représentée par la condition de ^ nul.

Cette équation est celle à laquelle on est conduit par la considération du problème proposé par Pascal à Fermât, et dont nous avons parlé ci-dessus ; n et ti' sont ici les coups qui manquent au premier et au second joueur pour gagner la partie, et la fonction de ces indices est la probabilité qu'elle sera gagnée par le premier joueur. Cette probabilité devient l'unité, lorsque n est nul, et jamais, n étant nul, n' ne peut être zéro ou négatif, en sorte qu'il faut rejeter de l'intégrale précédente tous les termes dans lesquels cela existe. De là il suit que la probabilité du premier joueur pour gagner la partie est égale aux n' premiers termes du binôme deux moins un, élevé à la puissance n prise en moins. Telle est la solution générale de ce problème.

De plus amples développements de la méthode que nous venons d'exposer seraient difficilement entendus sans le secours de l'Analyse. Nous observerons seulement que, A exprimant une fonction de la variable t, développée en série; B étant l'unité divisée par la variable, moins un, et C étant l'unité divisée par la puissance i de la variable, moins un; le produit de A par une puissance quelconque n de B sera la fonction génératrice des différences ji'^'''^ des coefficients de la série A, l'indice variant de l'unité; le produit de A par une puissance n' de C sera la fonction génératrice des différences n}^"^^' des mêmes, coefficients, l'indice variant de i. Ainsi, ^ et A étant supposés être les caractéristiques correspondantes à B et à G, toutes les équations identiques que l'on peut former entre B et C donneront, en y changeant ces