LIVRE II

ce qui donne

log p

Ces logarithmes peuvent être tabulaires. En faisant n = 90, on trouve

ce qui diffère très peu de la valeur i= 85,53 que nous avons trouvée ci-dessus.

5. Une urne étant supposée renfermer le nombre a? de boules, on en tire une partie ou la totalité, et l'on demande la probabilité que le nombre des boules extraites sera pair.

La somme des cas dans lesquels ce nombre est l'unité égale évidemment a?, puisque chacune des boules peut également être extraite. La somme des cas dans lesquels ce nombre égale 2 est la somme des combinaisons des X boules prises deux à deux, et cette somme est, par le

n** 3, égale à ^ ^' • La somme des cas dans lesquels le même nombre

égale 3 est la somme des combinaisons des boules prises trois à trois,

et cette somme est -^'^~ '^ ^^ -^ et ainsi de suite. Ainsi les termes

successifs du développement de la fonction (i -+- 1)'^ — i représenteront tous les cas dans lesquels le nombre des boules extraites est successivement!, 2, 3, ..., jusqu'à ce; d'où il estfacile de conclure que la somme de tous les cas relatifs aux nombres impairs est |(i -h i)-^" — ^(i — i)"^, ou 2^"', et que la somme de tous les cas relatifs aux nombres pairs est ^(i + ly^ -+- J(i — i)"^— I, ou '2-^-' — I. La réunion de ces deux sommes est le nombre de tous les cas possibles; ce nombre est donc 2^—1; ainsi la probabilité que le nombre des boules extraites sera pair

est ^. — » et la probabilité que ce nombre sera impair est ^. ;

il y a donc de l'avantage à parier avec égalité pour un nombre impair. Si le nombre x est inconnu, et si l'on sait seulement qu'il ne peut

excéder n, et que ce nombre et tous les inférieurs sont également possibles, on aura le nombre de tous les cas possibles relatifs aux nombres impairs en faisant la somme de toutes les valeurs de 2^-«, depuis ^ = i jusqu'à x — n, et il est facile de voir que cette somme est 2"— i. On aura pareillement la somme de tous les cas possibles relatifs aux nombres pairs, en sommant la fonction 1^-^ — i, depuis x — i jusqu'à x = n, et l'on trouve cette somme égale à 2" — /^ — i; la probabilité d'un nombre pair est donc alors ~^7^~1^' et celle d'un nombre im-

pair est ---7

Supposons maintenant que l'urne renferme le nombre x de boules blanches, et le même nombre de boules noires; on demande la probabilité qu'en tirant un nombre pair quelconque de boules, on amènera autant de boules blanches que de boules noires, tous les nombres pairs pouvant être également amenés.

Le nombre des cas dans lesquels une boule blanche de l'urne peut se combiner avec une boule noire est évidemment x.x. Le nombre des cas dans lesquels deux boules blanches peuvent se combiner avec deux boules noires est -^f ~-' ~7~2~^' ^^ ^'"^^ ^^ suite. Le nombre des cas dans lesquels on amènera autant de boules blanches que de boules noires est donc la somme des carrés des termes du développement du binôme (i -h i)-^, moins l'unité. Pour avoir cette somme, nous observerons qu'elle est égale au terme indépendant de a, dans le développement de (1+ ij(i ^ay. Cette fonction est égale à tLt^.

Le terme indépendant de a, dans son développement, est ainsi le coefficient du terme moyen du binôme (i + af; ce coefficient est

ÔTTi^XT^rT^^ ^^ nombre des cas dans lesquels on peut tirer de l'urne autant de boules blanches que de boules noires est donc

Le nombre de tous les cas possibles est la somme des termes impairs