LIVRE II

en sorte qu'il y a un peu moins d'un contre un à parier que tous les numéros sortiront dans 85 tirages, et un peu plus d'un contre un à parier qu'ils sortiront dans 86 tirages.

Un moyen fort simple et très approché d'obtenir la valeur de i est de

supposer— p, ou la série

\ n 1 1.2 \ Il j

égale au développement

n[n~ \] In

du binôme [^i - (^--^yj". En effet les deux séries ont les deux premiers termes égaux respectivement. Leurs troisièmes termes sont aussi, à très peu près, égaux entre eux; car on a à fort peu près ('^~ ^V

égal à (^ -^ j • En effet, leurs logarithmes hyperboliques sont, en négligeant les termes de l'ordre ~, égaux l'un et l'autre à - '-. On verra de la même manière que les quatrièmes termes, les cinquièmes, sont très peu différents, lorsque /i et «sont de très grands nombres; mais la différence s'accroît sans cesse à mesure que les termes s'éloignent du premier, ce qui doit à la fin en produire une sensible entre les séries elles-mêmes. Pour l'apprécier, déterminons la valeur de i conclue de l'égalité des deux séries. En égalant à ^ le binôme

ces logarithmes pouvant être, à volonté, hyperboliques ou tabulaires. Soit \J\^- I - 5. Nous aurons, en prenant les logarithmes hyperbo-

OEwres de L. — VII.

liques de chaque membre de cette équation

T Z"^ -l0gA- = — logfl — 2) =2 H h . . . ,

ce qui donne, à très peu près,

n \ in I

on aura donc, en logaritlimes hyperboliques,

log( i-l/^j=log2 = loglogyf-logn On a ensuite

log/f in

log = -,

° n n in-

L'expression précédente de i devient ainsi, à très peu près,

/ = «(logn-loglog/r)(^i- ^J -^ilog/r; l'excès de la valeur trouvée précédemment pour i sur celle-ci est

— ^(log/i— loglogA-);

cet excès devient infini, lorsque n est infini; mais il faut un très grand nombre pour le rendre bien sensible, et dans le cas de n = 10000 et de X: = 2, il n'est encore que de trois unités.

Si l'on considère pareillement le développement

de l'expression A-f^'l»'- -K^'- ^H»'- 3)K-4ff, ,o„„,e celui du bi-

nôme [i — i'^—^Y T' on aura, pour déterminer le nombre i de coups dans lesquels on peut parier un contre un que tous les numéros sortiront, l'équation