LIVRE II

probabilité d'amener x boules blanches, x' boules noires et x" boules rouges sera

OÙ l'on doit observer que ^— -, ^ , '' sont les pro-

^ p-i-q-hrp-i-q-hrp-i-q-i-r '■

habilités respectives de tirer de chaque urne une boule blanche, une boule noire et une boule rouge.

On voit généralement que, si les urnes renferment chacune le même nombre de couleurs, p étant le nombre des boules de la première couleur, q celui des boules de la seconde couleur, r, s, ... ceux des boules de la troisième, de la quatrième, . . ., x -+- x' -\- x" -\- x'"-]- . . . étant le nombre des urnes, la probabilité d'amener x boules de la première couleur, a?' boules de la seconde, ^i?" boules de la troisième, x'" boules de la quatrième, . . . sera

p-h q -hr-hs-\- .../ \p-i-q + r-hs -h.../ \p -hq ^r-\-s-^-..

7. Déterminons maintenant la probabilité de tirer des urnes précédentes X boules blanches, avant d'amener soit x' boules noires, soit x" boules rouges, Il est clair que, n exprimant le nombre des couleurs, cela doit arriver au plus tard après x -+■ x' -i- x" -+-... —[n -h i tirages; car, lorsque le nombre des boules blanches extraites est égal ou moindre que x, celui des boules noires extraites moindre que x', celui des boules rouges extraites moindre que x'\ ..., le nombre total des boules extraites, et par conséquent le nombre des tirages, est égal ou moindre que x + x'-i- x" -h . . . — n -i- i; on peut donc ne considérer \c'i que X -h x' -h x" -h . . . — n -{- 1 urnes.

Pour avoir le nombre des cas dans lesquels on peut amener x boules blanches au {x -+- 1)'*™* tirage, il faut déterminer tous les cas dans lesquels X — I boules blanches seront sorties au tirage x ^- i — i. Ce

nombre est le terme multiplié par/?^~^ dans le développement du polynôme [p -+- q -'- r-h. . .)-^^'~', et ce terme est

p-^-* {q -hr-h.

En le combinant avec les/? boules blanches de l'urne x -f- i, on aura un produit qu'il faudra encore multiplier par le nombre de tous les cas possibles relatifs aux x' -h oo" -i-.. .— n — i -{- 1 tirages suivants, et ce nombre est

on aura donc

i .2.3. . .ix — i). 1 .2.3. . .i

pour le nombre des cas dans lesquels l'événement peut arriver précisément au tirage x + i. Il faut cependant en exclure les cas dans lesquels q est élevé à la puissance x', ceux dans lesquels r est élevé à la puissance x", etc.; car dans tous ces cas il est déjà arrivé au tirage r + i — I , ou x' boules noires, ou x" boules rouges, ou etc. Ainsi dans le développement du polynôme {q + r -+-... y, il ne faut avoir égard qu'aux termes multipliés par 'qfrf'sf". . ., dans lesquels /est moindre que x , f est moindre que x" , f" est moindre que x'" , — Le terme multiplié par qf rf'sf" . . . dans ce développement est

l . 2 . ô . . . l f fi fti ,

qj rJ SJ ....

Tous les termes que l'on doit considérer dans la fonction [a) sont donc représentés par

' lf\ ] i.2.3...(jr — i). 1 .2.3. ../'. 1 .2.3. ../"'.. .

parce que i est égal à /-h /'-h . . .. Ainsi, en donnant, dans cette dernière fonction, à / toutes les valeurs entières depuis f =o jusqu'à f = x' — i,^^ f toutes les valeurs depuis y=o jusqu'à f'=x" — i, et