LIVRE II

ainsi de suite, la somme de tous ces termes exprimera le nombre des cas dans lesquels l'événement proposé peut arriver dans x-^ x'-^ . . . — /i-h i tirages. Il faut diviser cette somme par le nombre de tous les cas possibles, c'est-à-dire par (/? h- ij' h- r-f-. . .)"^"'^'^'^ "^■" """^'. Si l'on désigne par p' la probabilité de tirer une boule blanche d'une quelconque des urnes, par </' celle d'en tirer une boule noire, par /-'celle d'en tirer une boule rouge, . . ., on aura

la fonction (6), divisée par [p -h q -+■ r-{-. . .)-'^^-'^''^--^"-^\ deviendra

ainsi

t.^-3...(^4-/ + /'-4-^.--0 ^^.a'fr'r

La somme des termes que l'on obtiendra en donnant à/ toutes les valeurs depuis / = o jusqu'à f =^ x' — \ , k f toutes les valeurs depuis f ^= o jusqu'à /' = iT'— I, ..., sera la probabilité cherchée d'amener X boules blanches avant x' boules noires, ou x" boules rouges, ou, etc.

On peut, d'après cette analyse, déterminer le sort d'un nombre n de joueurs A, B, C, . . ., dont p', q', f, ... représentent les adresses respectives, c'est-à-dire leurs probabilités de gagner un coup lorsque, pour gagner la partie, il manque x coups au joueur A, x' coups au joueur B, a?" coups au joueur C, et ainsi de suite; car il est clair que, relativement au joueur A, cela revient à déterminer la probabilité d'amener^boules blanches avants' boules noires, ou.r" boules rouges, ..., en tirant successivement une boule d'un nombre x-\- x'-\-x"-^... — ji -hi d'urnes qui renferment chacune p boules blanches, q boules noires, /■ boules rouges, .... p, q,r, ... étant respectivement égaux aux numérateurs des fractions p', q', r', ... réduites au même dénominateur.

8. Le problème précédent peut être résolu d'une manière fort simple par l'analyse des fonctions génératrices. Nommons jx.r'.r'.... ''»

OEinrcsde L. — \\\. 27

probabilité du joueur A pour gagner la partie. Au coup suivant, cette probabilité se change dans j^;.,^^- .j." .. , si A gagne ce coup, et la probabilité pour cela estp'. La même probabilité se change dans j^y,,a;'.., si le coup est gagné par le joueur B, et la probabilité pour cela est q'; elle se change dans y^,,/,j. •,..., si le coup est gagné par le joueur C, et la probabilité pour cela est r\ et ainsi de suite; on a donc l'équation aux différences partielles

rx,x-,J:",... = p'Xx-\.j:-,xf'.... + q'Xx,jc-\.x",... + r'jrx,x.x"-t.... +

Soit u une fonction de t, /, t", . . ., telle que yx,x',x",... soit le coefficient de 1-" t'-^' t"^'" . . . dans son développement; l'équation précédente aux différences partielles donnera, en passant des coefficients aux fonctions

génératrices,

d'où l'on tire par conséquent,

ce qui donne

u itp'-^

\ + ^L^±il(cf'r-Hr'r-i-...)^

Maintenant le coefficient de t^ t"^' t"-"^" . . . dans — est j^^^- .y» ,, et le

même coefficient dans un terme quelconque du dernier membre de l'équation précédente, tel que kup'-^t'^'t"^"..., a^i kp'-"y^^^'if^^i'^;, la quantité yo,x'-i',x''-^r,... est égale à l'unité, puisqu'alors il ne manque aucun coup au joueur A. De plus, il faut rejeter toutes les valeurs de .Xo,x-/',j;'w,...» dans lesquelles /'est égal ou plus grand que .r', /"est égal ou plus grand que x" , et ainsi de suite, parce que ces termes ne peuvent être donnés par l'équation aux différences partielles, la partie étant