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quantités dans leurs caractéristiques, autant d'équations identiques entre ces caractéristiques, pourvu que dans le développement de ces équations on place les puissances et les produits de puissances de ces caractéristiques devant la fonction de l'indice.

Si ce développement donne aux caractéristiques des exposants négatifs, elles indiqueront alors des intégrales finies. En effet, le produit de A par la puissance n de B étant la fonction génératrice des différences ^i^ni"* des coefficients de A, ces coefficients sont les intégrales ,^i«mes (jgg coefficients de la fonction génératrice que forme ce produit; d'où il suit qu'une fonction génératrice, multipliée par B élevé à la puissance n prise en moins, est la fonction génératrice des intégrales ,^ièiiies (jgg coefficients de cette fonction. Les puissances négatives de (5, placées devant ces coefficients, indiquent par conséquent des intégrales, ce qui donne la raison de l'analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales.

Il est facile de voir que C est égal à la puissance i du binôme un plus B, en retranchant l'unité, de cette puissance. Si l'on élève à la puissance n les deux membres de cette égalité, elle subsistera toujours, quels que soient /^ et son signe; en changeant B et C dans leurs caractéristiques ^ et A, et en observant que les caractéristiques négatives expriment des intégrales, on aura par le développement du second membre les différences et les intégrales dans lesquelles l'indice varie d'une quantité quelconque i, par une suite de différences et d'intégrales dans lesquelles l'indice varie de l'unité. Si l'on suppose i infiniment petit, les résultats subsisteront toujours et se simplifieront en jejetant les infiniment petits d'un ordre supérieur à celui que l'on conserve. Ces passages du fini à l'infiniment petit ont l'avantage d'éclairer les points délicats de l'Analyse infinitésimale qui ont été l'objet de grandes discussions parmi les géomètres. C'est ainsi que j'ai démontré la possibilité d'introduire des fonctions discontinues dans les intégrales des équations aux différentielles partielles, pourvu que la discontinuité n'ait lieu que pour les différentielles des fonctions, de l'ordre de ces

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équations. Les résultats transcendants du calcul sont, comme toutes les abstractions de l'entendement, des signes généraux dont on ne peut connaître la véritable étendue qu'en remontant par l'analyse métaphysique aux idées élémentaires qui y ont conduit, ce qui présente souvent de grandes difficultés; car l'esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant qu'à se replier sur lui-même.

Le passage du fini à l'infiniment petit répand un grand jour sur la métaphysique du Calcul différentiel. On voit clairement par ce passage que ce calcul n'est que la comparaison des coefficients des mêmes puissances des différentielles, dans le développement en série de fonctions identiquement égales des indices augmentés respectivement de différentielles indéterminées. Les quantités que l'on néglige comme infiniment petites d'un ordre supérieur à celui que l'on conserve, et qui semblent par cette omission ôter à ce calcul la rigueur de l'Algèbre, ne sont que des puissances de ces différentielles, supérieures aux puissances dont on compare les coefficients, et qui par là doivent être rejetées de cette comparaison, en sorte que le Calcul différentiel a toute l'exactitude des autres opérations algébriques. jMais dans ses applications à la Géométrie et à la Mécanique, il est indispensable d'introduire le principe des limites. Par exemple, la sous-tangente d'une courbe étant la limite géométrique de la sous-sécante, ou la ligne dont celle-ci approche sans cesse à mesure que les points d'intei'section de la sécante avec la courbe se rapprochent, l'expression analytique de la sous-tangente doit être pareillement la limite de l'expression analytique de la sous-sécante; elle est par conséquent égale au premier terme de cette dernière expression développée suivant les puissances de l'intervalle qui sépare les ordonnées des deux points d'intersection.

On peut encore envisager la tangente comme la droite dont l'équation approche le plus de celle de la courbe près du point de contingence. L'ordonnée de cette courbe étant une fonction de l'abscisse, si à partir de ce point on fait croître l'abscisse d'une quantité indéterminée, suivant les puissances de laquelle la fonction soit développée, il est visible que la somme des deux premiers termes de ce développe-

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ment sera l'ordonnée de la droite la plus approchante de la courbe ; elle sera, conséquemment, l'ordonnée de la tangente, et le coefficient de l'indéterminée dans le second terme exprimera le rapport de l'ordonnée à la sous-tangente. Il est facile de prouver par le principe des limites que toute autre droite menée par le point de contingence entrerait dans la courbe près de ce point.

Celte manière singulièrement heureuse de parvenir à l'expression des sous-tangentes est due à Fermât, qui l'a étendue aux courbes transcendantes. Ce grand géomètre exprime par la caractéristique E l'accroissement de l'abscisse, et en ne considérant que la première puissance de cet accroissement, il détermine, exactement comme on le fait par le Calcul différentiel, les sous-tangentes des courbes, leurs points d'inflexion, les maxima et minima de leurs ordonnées, et généralement ceux des fonctions rationnelles. On voit même par sa belle solution du problème de la réfraction de la lumière, insérée dans le Recueil des Lettres de Descartes, qu'il savait étendre sa méthode aux fonctions irrationnelles, en se débarrassant des irrationnalités par l'élévation des radicaux aux puissances. On doit donc regarder Fermât comme le véritable inventeur du Calcul différentiel. Newton a depuis rendu ce Calcul plus analytique dans sa méthode des Fluxions, et il en a simplifié et généralisé les procédés par son beau théorème du binôme. Enfin, presqu'en même temps, Leibnitz a enrichi le Calcul différentiel d'une notation qui, en indiquant le passage du fini à l'infiniment petit, réunit à l'avantage d'exprimer les résultats généraux de ce calcul celui de donner les premières valeurs approchées des différences et des sommes des quantités, notation qui s'est adaptée d'elle-même au calcul des différentielles partielles.

On est souvent conduit à des expressions qui contiennent tant de termes et de facteurs que les substitutions numériques y sont impraticables. C'est ce qui a lieu dans les questions de probabilité, lorsque l'on considère un grand nombre d'événements. Cependant il importe alors d'avoir la valeur numérique des formules, pour connaître avec quelle probabilité les résultats que les événements développent en se

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multipliant sont indiqués. Il importe surtout d'avoir la loi suivant laquelle cette probabilité approche sans cesse de la certitude qu'elle finirait par atteindre, si le nombre des événements devenait infini. Pour y parvenir, je considérai que les intégrales définies de différentielles, multipliées par des facteurs élevés à de grandes puissances, donnaient, par l'intégration, des formules composées d'un grand nombre de termes et de facteurs. Cette remarque me fit naître l'idée de transformer dans de semblables intégrales les expressions compliquées de l'Analyse et les intégrales des équations aux différences. J'ai rempli cet objet, par une méthode qui donne à la fois la fonction comprise sous le signe intégral et les limites de l'intégration. Elle offre cela de remarquable, savoir, que cette fonction est la fonction même génératrice des expressions et des équations proposées, ce qui rattache cette méthode à la théorie des fonctions génératrices, dont elle est ainsi le complément. Il ne s'agissait plus ensuite que de réduire l'intégrale définie en série convergente. C'est ce que j'ai obtenu par un procédé qui fait converger la série avec d'autant plus de rapidité que la formule qu'elle représente est plus compliquée, en sorte qu'il est d'autant plus exact qu'il devient plus nécessaire. Le plus souvent, la série a pour facteur la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre; quelquefois elle dépend d'autres transcendantes, dont le nombre est infini.

Une remarque importante, qui tient à la grande généralité de l'Analyse et qui permet d'étendre cette méthode aux formules et aux équations à différences que la théorie des probabilités présente le plus fréquemment, est que les séries auxquelles on parvient, en supposant réelles et positives les limites des intégrales définies, ont également lieu dans le cas où l'équation qui détermine ces limites n'a que des racines négatives ou imaginaires. Ces passages du positif au négatif et du réel à l'imaginaire, dont j'ai le premier fait usage, m'ont conduit encore aux valeurs de plusieurs intégrales définies singulières, que j'ai ensuite démontrées directement. On peut donc considérer ces passages comme un moyen de découverte, pareil à l'induction et à l'ana-