rn — I ) ( r/i

i.2.3.4(m — i) (m — 2) {rn — 3") "^

Cherchons maintenant la probabilité que s boules au moins sortiront

à leur rang. Le nombre des cas dans lesquels s boules sortent à leur rang est, par ce qui précède,

nin — \] in — 2). . Jn — s -i- 1',

rlrn — s] [rn — s —

pourvu que l'on retranche de cette fonction les cas qui sont répétés. Ces cas sont ceux dans lesquels s h- i boules sortent à leur rang, car ils peuvent résulter, dans la fonction, de 5 + i boules prises s h s; ces cas sont donc répétés s -h i fois dans cette fonction ; par conséquent il faut les retrancher s fois. Or le nombre des cas dans lesquels s -h i boules sortent à leur rang est

—^ '-^ -^ \ '- A^+' { rn — s — ï) (rn — s — 2) . . . [ rn — n -hi).

En le multipliant par s et le retranchant de la fonction {b), on aura

r^irn — S] [rn — s — i] . . . [r?i — n \ i .2.6. . .s

\ ^L [s-^^)[rn-s]\

Dans cette fonction, plusieurs cas sont encore répétés, savoir, ceux dans lesquels s -+- 1 boules sortent à leur rang; car ils résultent, dans le premier terme, des ^4-2 boules sortant à leur rang et prises S2i s; ils résultent, dans le second terme, des s + 2 boules sortant à leur rang et prises ^ 4- i à * + i , et de plus multipliés par le facteur s, par lequel on a multiplié le second terme. Ils sont donc compris dans cette fonction le nombre de fois ^-^- — "^^^ — ~ —5(^+2); ainsi il faut multiplier

par l'unité, moins ce nombre de fois, le nombre des cas dans lesquels .V -f- 2 boules sortent à leur rang. Ce dernier nombre est

nin — i) (n — 2]... in — s — ï) ,,, , ,, o\ 1 , \

le produit dont il s'agit sera donc

-— ^ '^ \ r — '-r^+^irn - 5 — 2 . . . m — n + i - - - --•