LIVRE II

ce terme exprime la probabilité de B pour gagner la partie au coup b. Ensuite on multipliera le reste par /? + ^. Le premier terme de ce produit aura pour facteur p^'q, et, comme l'exposant b ne surpasse que de b — I l'exposant de q, il en résulte que la partie ne peut pas être gagnée par le joueur A, au coup è -f- i , ce qui est visible d'ailleurs ; car, si A a perdu un jeton dans les b premiers coups, il doit, pour gagner la partie, gagner ce jeton plus les b jetons du joueur B, ce qui exige è + 2 coups. Mais, si a = ^ -I- I, on retranchera du produit son dernier terme, qui exprime la probabilité du joueur B pour gagner la partie au coup

On multipliera de nouveau ce second reste par p + q. Le premier terme du produit aura pour facteur p^^^ q, et, comme l'exposant de /> y surpasse de b celui de q^ ce terme exprimera la probabilité de A pour gagner la partie au coup b -+- 2. On retranchera pareillement du produit le dernier terme, si l'exposant de ^ y surpasse de a celui de/>.

On multipliera de nouveau ce troisième reste par p -+- q, et l'on continuera ces multiplications jusqu'au nombre de fois n — b, en retranchant à chaque multiplication le premier terme, si l'exposant de p y surpasse de b celui de q, et le dernier terme, si l'exposant de ^ y surpasse de a celui de p. Cela posé, la somme des premiers termes ainsi retranchés sera la probabilité de A pour gagner la partie avant ou au coup 71, et la somme des derniers termes retranchés sera la probabilité semblable relative au joueur B.

Pour avoir une solution analytique du problème, soit yje,x' la probabilité du joueur A pour gagner la partie, lorsqu'il a x jetons, et lorsqu'il n'a plus que x' coups à jouer pour atteindre les n coups. Cette probabilité devient, au coup suivant, ou j^f,,,^',, ou j^,,a;'-i» suivant que le joueur A gagne ou perd le coup; or les probabilités respectives de ces deux événements sont /? et ^ ; on a donc l'équation aux différences partielles

Pour intégrer cette équation, nous considérerons, comme précédemment, une fonction w de ^ et de t' génératrice de j^,^', en sorte que 7^..^'

soit le coefficient de t^t"" dans le développement de cette fonction. En repassant des coefficients aux fonctions génératrices, l'équation précédente donnera

d'où l'on tire

par conséquent,

t ipt' ~ ip '

ce qui donne

donc

Cette équation peut être mise sous la forme suivante :

L'expression précédente de - donne

on a donc

l[2pY-W-^' i~^

sous cette forme, l'ambiguïté du signe ± disparaît.