LIVRE II

Maintenant, si l'on repasse des fonctions génératrices à leurs coefficients, et si l'on observe que jo^,' est nul, parce que le joueur A perd nécessairement la partie lorsqu'il n'a plus de jetons, l'équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

la série du second membre s'arrêtant lorsque x — 2r — i a une valeur

négative. X^-^~'\ X^'^-^^ . . . sont les coefficients de jr~t ' ffx^i^ " ' ^'■^^^^ le développement de la fonction

Si l'on nomme m' le coefficient de i-^dans le développement de a, w'sera une fonction de t' et de x, génératrice de 7^.,^;'. Si l'on nomme pareillement T' le coefficient de t dans le développement de w, le produit de

— - — 7 par la fonction [i] sera la fonction génératrice du second membre

de l'équation précédente; cette fonction est donc égale à u'. Supposons X = a -i- b, alors y^^^' devient ya+b,x'> et cette quantité est égale à l'unité; car il est certain que A a gagné la partie, lorsqu'il a gagné tous les jetons de B; w'est donc alors la fonction génératrice de l'unité; or x' est ici zéro ou un nombre pair, car le nombre des coups dans lesquels A peut gagner la partie est égal à b plus un nombre pair : en effet, A doit pour cela gagner tous les jetons de B, et de plus il doit regagner cbaque jeton qu'il a perdu, ce qui exige deux coups. Ensuite, n exprimant un nombre de coups dans lequel A peut gagner la partie, il est égal à b plus un nombre pair; x\ étant le nombre des coups qui manquent au joueur A pour arriver à n, est donc zéro ou un nombn;

pair. De là il suit que, dans le cas de x — a + b, a devient — ^ — ; on

a donc

pa^o-^ >- 1-^2

\/r.-^pQ

ce qui donne la valeur de T'. En la multipliant par la fonction [i) divisée par ^''p"-^ et dans laquelle on fait x = a, on aura la fonction génératrice de j«y égale à

(n\ 2>^r^[(i + y/i - ^pqt'^Y-{, - y/'ï - f^pqt'~^Y^

{^-t'^)\ii + sli-^pqt'^Y-^'-{i-^-^pqt'^Y^'} Dans le cas de « == 6, elle devient

(i- f'2)[(n- ^i — ^pqt'^y-\-{i — v/i — 4/7^/'2)«]'

En développant la fonction

[q) (i-^\J\ — ^pql'^Y-^ (, y/x ^pqt'^y

suivant les puissances de t'^, le radical disparaît, et le plus haut exposant de /' dans ce développement est égal ou plus petit que a. Mais, si l'on développe (i — ^i — l^pqt'^Y suivant les puissances de ^'^ le plus petit exposant de /' sera 2«; la fonction {q) est donc égale au développement de (i 4- \ji — l\pqt'^y, en rejetant les puissances de t' supérieures à a.

Maintenant on a, par le n*' 3 du Livre V\

z- étant celle des racines de l'équation

qui se réduit à l'unité lorsque a est nul. Cette racine est