LIVRE II
Cette valeur serait très pénible à réduire en nombres, si h et 2i étaient de grands nombres; il serait surtout très difficile d'obtenir par son moyen le nombre de coups dans lesquels A peut parier un contre un de gagner la partie; mais on peut y parvenir facilement de cette manière.
Reprenons la formule (H) trouvée ci-dessus. Dans le cas de a infini,
et p étant supposé égal ou plus grand que q, si l'on y suppose -r: — cp
et - == do, elle devient a '
^b+ii+i pb f^pqY+K Çfji^ sinso sin69(cos9)*+2/ TT j p^ — 2 pq cos 2 (f -h q^
ra.b+2i= I
l'intégrale devant être prise depuis 9 = 0 jusqu'à o = ^7:. Dans le cas dep moindre que q, la même expression a lieu, pourvu que l'on change
le premier terme i dans'-^-
Si p = q, cette expression devient
'dcç) sin69(cos9)*+2j+i
IP
smtp
l'intégrale étant prise depuis 9 nul jusqu'à 9 = ^-. Supposons maintenant que b et i soient de grands nombres. Le maximum de la fonction
9(cos9)*+2i-4-i sin9
répond à 9 = o, ce qui donne i pour ce maximum. La fonction décroit ensuite avec une extrême rapidité, et, dans l'intervalle où elle a une valeur sensible, on peut supposer
logsin9 = log9-i-log(i — ' ©2) r^ log9 — ,^ 9»,
6 + 2i-f-i ^ b -hii -h i .
ce qui donne, en négligeant les sixièmes puissances de 9 et ses (jua-
trièines puissances qui ne sont pas multipliées par b + li -\- i.
COS9]*+2/+l 6|-j/ + | ^^2/^2
log ^ V = — logo
En faisant donc
on aura
sincp partant,
r</9sin^>9(cos9)^+2/+. ^ / c?9(^i (^ 9'*] J sin9 ~J ^9
sin69C-«'9'.
Cette dernière intégrale peut être prise depuis 9 = 0 jusqu'à 9 infini ; car elle doit être prise depuis 9 = 0 jusqu'à 9 ~ {i:; or, a^ étant un nombre considérable, c-""'** devient excessivement petit, lorsqu'on v fait 9 = ^7:, en sorte qu'on peut le supposer nul, vu l'extrême rapidité avec laquelle cette exponentielle diminue, lorsque 9 augmente. Maintenant on a
db.
sin/>9c-«'?'=/f/9f I— -7^9*) 005^9 c--«'?';
on a d'ailleurs, par le n° 25 du Livre P"",
/9'' â'9COs69C-«''P'— ^'^
ia db''
d'où l'on tire, en supposant > ^ = ^'
sin9 * \f 8«^ ^ "* ^J
