LIVRE II

Supposons a = b\ sin ■ — ~h~^ deviendra sini(r-f- i)r. Ce sinus est nul, lorsque r+ i est pair; il suffit donc alors de considérer, dans l'expression dey^^^^a/» les valeurs impaires de r-h i. En les exprimant par is + i, et observant que sin ~ ^ = ( i)% on aura

p^'ipq^ g

— I V sin ^^ '— ces ^-

p^ — ipq ces ^^ ' h q

2.V -h 1 devant comprendre toutes les valeurs impaires contenues dans a — i.

Si l'on change, dans cette expression,/? en q, et réciproquement, on aura la probabilité du joueur B pour gagner la partie en a -\- ii coups. La somme de ces deux probabilités sera la probabilité que la partie sera finie après ce nombre de coups; cette dernière probabilité est donc

, , , (25-1- 1)7: r (25-!- lÎTrl^-^--' 2-2'- (-i)^sin^— ^ cos^-~-^-

P ^P^ <^os ■ —

Si les adresses p et ^sont égales, cette expression devient

-îs

ces — '-—

2rt

Sin 5^ '—

Lorsque a-\- ii est un grand nombre, on peut en conclure d'une manière fort approchée le nombre de coups nécessaire pour que la probabilité que la partie finira dans ce nombre de coups soit égale à une

fraction donnée 7- On aura alors k

Y (25 4-!)7rl«+2/-

cos -^ —

— I n ces , l g ___ L 2a J A- — I

a . 1 2 5 H- I ) TT ~ F^ '

sin-

a -h 2i;' étant supposé un très grand nombre, fort supérieur au nombre

a, il suffit de considérer le terme du premier membre qui correspond

à s nul, et alors on a

log — ^ — — -' sin — L 2/,' aaj

log ( ces — \ 2a

ces logarithmes pouvant être à volonté hyperboliques ou tabulaires.

Si, dans les formules précédentes, on suppose a infini, h restant un nombre fini, on aura le cas dans lequel le joueur A joue contre le joueur B qui a primitivement le nombre b de jetons, jusqu'à ce qu'il ait gagné tous les jetons de B, sans que jamais celui-ci puisse gagner A, quel que soit le nombre des jetons qu'il lui gagne. Dans ce cas, la fonction génératrice (o) de y^^^' se réduit à

n)[i + ,^l\-\pqt'-^Y

car alors (i t- ^i — [\pqt'^Y et (i — \/! — l\pqt'^y^ , développés, ne renferment que des puissances infinies de /', puissances que l'on doit négliger, quand on ne considère qu'un nombre fini de coups. On a par ce qui précède

b b-^ i-hj){b -4- /+ 2). . .{b + 27 — i)p^q'i'^'

En multipliant ce second membre par —- — t--, le coefficient de / ^^' sera ^ ^ I — t -

,r . b{b-hZ) , ^ b[b-\-i-\-\)[b + i-^i]...{h-hii — \)piqn

c'est la valeur de j^^j^o,, ou la probabilité que A gagnera la partie avant ou au coup b -h 21.