LIVRE II

nient au coup x ; nommons ^^ cette probabilité. Pour que la partie finisse au coup X, il faut que le joueur qui entre au jeu au co\x^x — n 4- 1 gagne ce coup et les n — i coups suivants; or il peut entrer contre un joueur qui n'a gagné qu'un seul coup : en nommant P la probabilité de cet

événement, — sera la probabilité correspondante que la partie finira

au coup X. Mais la probabilité z^^ que la partie finira au coup x — 1

est évidemment — — • Car il est nécessaire pour cela qu'il y ait un

joueur qui ait gagné un coup, au coup .r — /i + i, et qui, jouant à ce coup, le gagne et les /i — 2 coups suivants; et la probabilité de chacun

de ces événements étant P et -J-» la probabilité de l'événement com-

posé sera -^^\ oniaura donc z^.., == — ,î et, par conséquent,

est donc la probabilité que la partie finira au coup x, relative à ce cas.

Si le joueur qui entre au jeu au coup x — n -^ i joue à ce coup contre un joueur qui a déjà gagné deux coups, en nommant P' la pro-

habilité de ce cas, — sera la probabilité relative à ce cas que la partie

iinira au coup x. Mais on a

car, pour que la partie tinisse au coup x — 2, il faut qu'au coup X -- n-^- i l'un des joueurs ait déjà gagné deux coups, et qu'il gagne ce coup et les /i — 3 coups suivants. On a donc

-- Sx-2 est donc la probabilité que la partie finira au coup x, relative à ce cas; et ainsi de suite.

2kk IHÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

En rassemblant toutes ces probabilités partielles, on aura

La fonction génératrice de z^. est, par le Livre P%