II I

OU

Pour déterminer ^|;(^), nous observerons que la partie ne peut finir au plus tôt qu'au coup n, et que la probabilité pour cela est -^~\ car il faut que le vainqueur au premier coup gagne les n — i coups suivants ; i]^(0 ne doit donc renfermer que la puissance n de /, et --3- doit être

le coefficient de cette puissance, ce qui donne ^{t) = -y^; ainsi la fonction génératrice de z^ est

La somme des coefficients des puissances de / jusqu'à l'infini, dans le développement de cette fonction, est la probabilité que la partie doit finir après une infinité de coups; or on a cette somme en faisant t = i dans la fonction, ce qui la réduit à l'unité; il est donc certain que la partie doit finir.

On aura la probabilité que la partie sera finie au coup x ou avant ce coup, en déterminant le coetficient de /-^ dans le développement de la fonction précédente, divisée par i — ^ ; la fonction génératrice de cette probabilité est donc