LIVRE II

on aura

T[2- tT-rT")li-t+ ~-tA

Ainsi la fonction génératrice de l'équation ([)aux différences partiellet est

la fonction génératrice de 7,,^ est donc

Le coefficient de /-^ dans le développement de cette fonction est la probabilité du joueur (r) de gagner la partie au coup x. On pourra ainsi déterminer cette probabilité par ce développement. La somme de tous ces coefficients jusqu'à x infini est la probabilité du joueur (r) de gagner la partie; or on a cette somme en faisant t = 1 dans la fonction précédente, ce qui donne T = ---^j nommons/? cette dernière quantité, et désignons par j, la probabilité de (r) de gagner la partie; on

aura

Cette expression s'étend depuis /•-= o jusqu'à r=n~i, pourvu qu'on y change jo dans y„ y, exprimant la probabilité de gagner la partie des deux premiers joueurs au moment où ils entrent au jeu.

Maintenant, chaque joueur perdant déposant un franc au jeu, déterminons l'avantage des différents joueurs. H est clair qu'après x coups, il y avait x jetons au jeu ; l'avantage du joueur [r) relatif à ces x jetons est le produit de ces jetons par la probabilité./,,, de gagner la partie au coupa;; cet avantage est donc xj,„. La valeur de xy,., est le coeffi-

OEuvres de L. — VU.

cient de t""-^ dt dans la différentielle de la fonction génératrice de j^,^,; en divisant donc cette différentielle par dt et en y supposant ensuite / = I, on aura la somme de toutes les valeurs de ocyr^x jusqu'à x infini; c'est l'avantage du joueur (r). Mais il faut en retrancher les jetons qu'il met au jeu à chaque coup qu'il perd; orj^,;^ étant sa probabilité de gagner la partie au coup x, 2!yr,x-n+\ sera sa probabilité d'entrer au jeu au coup x — ti-{-i, puisque cette dernière probabilité, multipliée

par la probabilité ~ qu'il gagnera ce coup et les n — i coups suivants

est sa probabilité de gagner la partie au coup x. En supposant donc qu'il perde autant de fois qu'il entre au jeu, la somme de toutes les valeurs de 7"yr,x-n+\ jusqu'à x infini, serait le désavantage du joueur (r); et comme la somme de toutes les valeurs de yr,x-n+\ est égale à la

2" ( I — p) p' somme de toutes les valeurs dé j,.,^ ou j^, on aurait l'^y,. ou — — — 3—7

pour le désavantage du joueur (r). Mais il ne perd pas chaque fois qu'il entre au jeu, parce qu'il peut entrer au jeu et gagner la partie; il faut donc ôter de i"yr la somme de toutes les valeurs de j^ ou j^» et alors

( 2 " I If I p") »'" -Il

le désavantage de ir) est — '-^- Pour avoir 1 avantage entier

de (r), il faut retrancher cette dernière quantité de la somme des valeurs de xyr^x^ en désignant donc par S cette somme, l'avantage du joueur [r) sera

S étant, comme on l'a vu, la différentielle de la fonction génératrice de 7^,^ divisée par dt, et dans laquelle on suppose ensuite t ~ i. Dans cette supposition, on a

dT

Désignons par Y,, l'avantage de [r), on trouvera 4- 1 — n r, , D"-^' -+- n

npA-i~n r, , p"-^^ -+- n{i~ p)p" — p