LIVRE II. 2i

Donnons à la fonction génératrice de Zj. cette forme

2« I — / L^ ~ 2« 1 -^ ~^ 22^ (ï — 0" ~ J ' le coefficient de /^ dans — r—- ^ est

t (:p — rn -h j] la: — rn -\- 2) . . .(x — m -^ r — 2 ) ,

on a donc

Zx = -„- 1 — [X — 3 /t -4- 4

expression qui n'est relative qu'à x plus grand que n, et dans laquelle il ne faut prendre qu'autant de termes qu'il y a d'unités entières dans

le quotient -• Lorsque x =. n, on a 5^ = — -p

En développant de la même manière la fonction génératrice de la probabilité que la partie finira avant ou au couper, on trouvera pour l'expression de cette probabilité

X — n -h 9. X — 'in -h f , ,,

[x — 3n -h i) ix — 3n -h 2] ,

cette expression ayant lieu dans le cas même de <r = n.

Déterminons maintenant les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie au coup x. Soit Jo,.t celle du joueur qui a gagné le premier coup. Soient j,,^, j^,.^ r«~,,:r celles des joueurs suivants, et j„.^ celle du joueur qui a perdu au premier coup, et qui par là est devenu le dernier. Désignons les joueurs par (o), (i), (2), ..., [n — i], (n). Gela posé, la probabilité y^^^ du joueur (/) devient yr~i,x-n si au second coup le joueur (o) est vaincu par le joueur (r) ;

car il est visible que (r) se trouve alors, par rapport au vainqueur (i), dans la même position où était [r — i) par rapport au vainqueur (o); seulement, il y a un coup de moins à jouer pour arriver au coup x, ce qui change x dans x — i. Présentement la probabilité que le joueur (o) sera vaincu par (i) est ^; ainsi ^j^,^.^, est la probabilité du joueur (/•) pour gagner la partie au coup^, relative au cas où (o) est vaincu par (i). Si (o) n'est vaincu que par (2), y,.,^ devient 7^2^^2, et la probabilité de cet événement étant {, on a { y^2,a:-2 pour la probabilité du joueur (r) de gagner la partie au coup x, relative à ce cas. Si le joueur (o) n'est vaincu que par le joueur (r), j, .^ devient Vo,^-,, et la

probabilité de cet événement est — ; ainsi -^.jo,x-r est la probabilité

du joueur [r) pour gagner la partie au coup x, relative à ce cas. Si le joueur (o) n'est vaincu que par le joueur (r-i- i), j,.^ se change dans yn-\,x-r-i\ ear alors le joueur (r) se trouve, par rapport au vainqueur, dans la position primitive du joueur [n — 1) par rapport au joueur (o) ; seulement il ne reste que x — r—i coups à jouer pour arriver au coup X. Or la probabilité que (o) ne sera vaincu que par le joueur

(/'4- i) est -^p^^\ -p-^ y,^^^^r-^ est douc la probabilité de (/■) pour gagner la partie au coup x, relative à ce cas. En continuant ainsi, et rassemblant toutes ces probabilités partielles, on aura la probabilité entière 7,..,. du joueur (r) pour gagner la partie, ce qui donne l'équation suivante :

Cette expression a lieu depuis /•= i jusqu'à 7= n — 2. Elle donne II I 1

~ Jr-i.x-i — -~,yr--2,J-- -r- -- J,--3,,i--3 4-. . .+ - J,-,.r-«.

En retranchant cette équation de la précédente, on aura celle-ci aux

différences partielles,

cette équation s'étend depuis r= 2 jusqu'à r~n — 2. On a, par le raisonnement précédent, l'équation suivante :

Il I

Mais l'expression précédente de yr,x donne.

En retranchant cette équation de la précédente, on aura

fn-i.x — J/i-2,x-1 + ;^iTn-i,r:-n — O;

ainsi l'équation (i) subsiste dans le cas de r= ii — \ .

Le raisonnement précédent conduit encore à cette équation

ce qui donne

- r«„t-« = —^ rn-i,x-2 4- . . . + - r< ..i-«-

En retranchant cette équation de celle-ci, que donne l'expression générale de Yr,.x*

J),,r = - ro.,t-i ^- ^ r«-i,.r-2 + . . . + ^„;7, r2,.i-// M ,

et faisant ^ ( Jc^ -+- yn,x) = Jo..r» on aura

ri..c— ro,.r-i + — r<,-^-« = «•

L'équation (i) subsiste donc encore dans le cas même de r = i , pourvu que l'on y change /«..r Jans jo.x- 0" doit observer que jo,.r c'st la probabilité de gagner la partie au coup œ de chacun des deux premiers

joueurs, au moment où le jeu commence; car cette probabilité devient, après le premier coup, y,,^ ou j„,.^ suivant que le joueur gagne ou perd, et la probabilité de chacun de ces événements est |.

Maintenant, la fonction génératrice de l'équation (i) est, par le n° 20 du Livre P',

i — tt' -h— t"

t étant relatif à la variable œ, et t' étant relatif à la variable r, en sorte que yr,a: est le coefficient de r/^ dans le développement de cette fonction; (p(^) est une fonction de i qu'il s'agit de déterminer. Pour cela, nous ferons

la fonction génératrice dej;..^ sera le coefficient de t"- dans le développement de la fonction (a); elle sera donc

9(/)rT'-+'.

La probabilité que la partie finira précisément au coup x est évidemment la somme des probabilités de chaque joueur pour la gagner à ce coup; elle est donc

par conséquent la fonction génératrice de cette probabilité est

T 9(^) (2 + /TH-/2T2 +...! ;«-)T«-i) ou

Tcpf;^

En l'égalant à la fonction génératrice de cette probabilité, que nous avons trouvée ci-dessus et qui est