LIVRE II

En divisant la fonction génératrice précédente par i — /, on aura

-0^[.+ ii:=^l?i^]

pour la fonction génératrice de la probabilité que l'événement composé aura lieu avant ou au coup a:.

En développant cette fonction, on aura, pour le coefficient de z-^^', la série

t \« o-("^ — i.i\[x — ii — i)^,

la série étant continuée jusqu'à ce que l'on arrive à des facteurs négatifs. C'est l'expression de la probabilité que l'événement composé aura lieu au coup ^ + i ou avant ce coup.

Supposons encore que deux joueurs A et B, dont les adresses respectives pour gagner un coup sont ^ et 1 - ^, jouent à cette condition, que celui des deux qui aura le premier vaincu ^ fois de suite son adversaire gagnera la partie; on demande les probabilités respectives des deux joueurs pour gagner la partie précisément au coup or.

Soit 7^ la probabilité de A, et y'^ celle de B. Le joueur A ne peut gagner la partie au coup x, qu'autant qu'il commence ou recommence à gagner B au coup a? — z + i, et qu'il continue de le gagner les i~ i coups suivants. Or, avant de commencer le coup x — i-h i, B aura déjà gagné A ou une fois, ou deux fois, . . ., ou « - i fois. Dans le premier cas, si l'on nomme P la probabilité de ce cas, P(i — q)'-* sera la probabilité 7^, de B pour gagner la partie au coup x — i, ce qui donne

2Si THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Mais si B perd au coup x — i + i et aux i — i coups suivants, A ga-

/il y

gnera la partie au coup x, et la probabilité de cela est P^'; ,— ^ •'^"■— est donc la partie de y^; relative au premier cas.

Dans le second cas, si l'on nomme P' sa probabilité, P'(i — q)'"- sera la probabilité j^2 de B pour gagner la partie au coup x — 2. La probabilité de A pour gagner la partie au coup x, relative à ce cas, est

P'q'; on a donc — '^^^"J,^ pour cette probabilité.

En continuant ainsi, on aura

Si l'on change ^ en i — q, y^ en j^, et réciproquement, on aura

Maintenant, u étant fonction génératrice de j^, celle de y'^ sera, par tout ce qui précède,

hqut[v-\- qt + qf^ -H . . . + ^'-^i'-^),

k étant égal à - — S^' Mais l'expression précédente de j!^ ne commençant à avoir lieu que lorsque x = i -^ i, parce que pour des valeurs plus petites de x, /,,, , ja;-2» • • • sont nuls, il faut, pour compléter l'expression précédente de la fonction génératrice de j^, lui ajouter une fonction rationnelle et entière de t, de l'ordre i, et dont les coefficients des puissances de t soient les valeurs de j^., lorsque x est égal ou plus petit que i. Or y'^ est nul, lorsque x est moindre que i; et lorsqu'il est égal à i, r^. est (1 — q)', parce qu'il exprime alors la probabilité de B pour gagner la partie après i coups; la fonction à ajouter est donc (] — q^t'; ainsi la fonction génératrice de y'^ est

kqut[i + qt -\- . . . + q'-^ t'-^ -^ [\ — qYt\ Si l'on nomme u' cette fonction, l'expression de y^ en y'x^^, J'!r-2» • • • '