LIVRE II. alMi

donnera pour la fonction génératrice de j^, en changeant dans celle de j^, k dans ^j q dans i — q,

A (, - ^)./?[i + (i - 9)f + . . . + (i - 7^-2^'-^-] H- qnK

Cette quantité est donc égale à u, d'où l'on tire, en y substituant pour a sa valeur précédente,

^'^'(i-(yO[i-(i-«y)'^']

En changeant ^ en i — ^, on aura la fonction u' génératrice de y^. Si l'on divise ces fonctions par i — t, on aura les fonctions génératrices des probabilités respectives de A et de B, pour gagner la partie avant ou au coup X.

Si l'on suppose t = i dans m, on aura la probabilité que A gagnera la partie; car il est clair qu'en développant u suivant les puissances de t, et en supposant ensuite / = i, la somme de tous les termes de ce développement sera celle de toutes les valeurs dej^. On trouve ainsi la probabilité de A pour gagner la partie égale ii

(i — qy-' + q'-' — q'-' (i - qY'' ' la probabilité de B est donc

(i — qy-' + ç'-' — 7'"' (i — qY~*

Supposons maintenant que les joueurs, à chaque coup qu'ils perdent, déposent un franc au jeu, et déterminons leur sort respectif. Il est clair que le gain du joueur A sera x, s'il gagne la partie au coup x, puisqu'il y aura a? francs déposés au jeu; ainsi la probabilité, de cet événement étant /a; par ce qui précède, 'èxy^ sera l'expression de l'avantage de A, le signe S s'étendant à toutes les valeurs possibles de x. La fonction

génératrice de j^ étant u ou y' T' étant le numérateur de l'expression

précédente de w, etT étant son dénominateur, il est facile de voir que

l'on aura S^^r, en différentiant^, et en supposant ensuite t = j dans cette différentielle, ce qui donne, avec cette condition,

dT T dT

S XYj: ,

Pour avoir le désavantage de A, on observera qu'à chaque coup qu'il joue, la probabilité qu'il perdra, et par conséquent qu'il déposera un franc au jeu, est r - y; sa perte est donc le produit de i - r/ par la probabilité que le coup sera joué ; or la probabilité que le coup x sera joue est I - S7^, — Sr;, ; la fonction génératrice de l'unité est ici ~. et celle de S j,, + S j^^, est ^^^^'^ T" étant ce que devient T

lorsqu'on y change çr en i - ^ et réciproquement; ainsi la fonction génératrice du désavantage de A est

Le numérateur et le dénominateur de cette fonction sont divisibles par i-t; de plus, on aura la somme de tous les désavantages de A, ou son désavantage total, en faisant /= i dans cette fonction génératrice; le désavantage total est donc, par les méthodes connues, et en observant que T'-f-r = T lorsque / = i,

'fdt ~ '

t étant supposé égal à l'unité après les différentiations. Si l'on retranche cette expression de celle de l'avantage total de A, on aura, pour l'expression du sort de ce joueur,

T dr ïT^7'

Le sort de B sera