LIVRE II

multiplierons, conformément à la méthode exposée dans les numéros précédents, (p(/) par /" ou l'unité, ç'(^) par /^, <p"(z) par /^', ... ; nous multiplierons pareillement 91(^1) par l'unité, (f\{t,) par /^s et ainsi de suite; les exposants des puissances de / indiqueront alors ces valeurs. H suffira ensuite de faire /= i dans le dernier résultat du calcul. Au moyen de ces artifices très simples, on peut facilement résoudre le problème proposé.

La probabilité de la fonction ']>{(, t,, t^, . . .) est évidemment égale au produit des probabilités de t, ^,, ^2» • • •» en sorte que, si l'on substitue pour t sa valeurs — t, — t., — . . . , que donne l'équation

le produit de la fonction proposée par sa probabilité sera

1' ^{s-~ ti— t-i — . . ., ti, to, . . .) X[9(* — /) — ^2—...) -h Ifo'is — /, — ^2 — ...) -H l'i'fis ~ ti — ti —...) -•--...] ;A) / x[<]p,(/,) + ^^'?'.('0 + ^^''?".('. )+•••] 1 X [92(^2) ^/-^^ 9; (^2) + /^'. 92 1^2) M-...] \ X

On aura donc la somme de tous ces produits : 1° en multipliant la quantité précédente par dtf et en l'intégrant pour toutes les valeurs dont tf est susceptible; 2" en multipliant cette intégrale par dt^ et en l'intégrant pour toutes les valeurs dont t^ est susceptible, et ainsi de suite jusqu'à la dernière variable /,,; mais ces intégrations successives exigent quelques attentions particulières.

Considérons un terme quelconque de la quantité (A), tel que

/<7+<7.-»-y;+-vl;(5-/,^/2-...,/,,f2, ...)?>-'<- '2-... )9',('0?2( '2)...;

en le multipliant par dl,, il faut intégrer pour toutes les valeurs possibles de /, ; or la fonction 9'(^ — t, — t.^ — • • •) n'a lieu que lorsque t, dont la valeur ests — t^~ t^ —. .., égale ou surpasse g; la plus grande valeur que /, puisse recevoir est donc s — q — t^ — t^ — De plus,

o\(tt) n'ayant lieu que lorsque f, est égal ou plus grand que ^,, cette quantité est la plus petite valeur que ?, puisse recevoir; il faut donc prendre l'intégrale dont il s'agit depuis t, = ^, jusqu'à

ti=^s — q — (-2 — h — • ' ■;

ou, ce qui revient au même, depuis tt — q, = o jusqu'à

t\ — q\ = s— q— qy — t-y— tz —

On trouvera de la même manière qu'en multipliant cette nouvelle intégrale par dt.],, il faudra l'intégrer depuis t.^ — q'^z=o jusqu'à

En continuant d'opérer ainsi, on arrivera à une fonction de

s — q — qs — q':^ — ...,

dans laquelle il ne restera aucune des variables 1,1^,1.^, .... Cette fonction doit être rejetée, si ^ — ^ — ^, — ^^'^ — .. . est nul ou négatif; car il est visible que, dans ce cas, le système des fonctions (^'{t), ?\{^i)* çil^a)» ".ne peut pas être employé. En effet, les plus petites valeurs de ;,, t.2, ... étant, par la nature de ces fonctions, égales à q^, q.^f ..., la plus grande valeur que / puisse recevoir ests — q, — q'..^ — ...; ainsi la plus grande valeur de t — q est

or la fonction çp'(i) ne peut être employée qu'autant que t — q est positif.

De là résulte une solution très simple du problème proposé. Que l'on substitue : i° q -h t au lieu de t dans (^'{t), q' -h t ?lu lieu de t dans (p"(/), q"-h t au lieu de t dans 9"'(^)et ainsi de suite; 2** q^ -f- t, au lieu de t, dans <p',(^i), q\-+-t, au lieu de t, dans 9",(^<), .-•; 3** q-^-^t^ au lieu de t^ dans ©..(^a)» </! + i-i au lieu de t.^ dans 93(^2)» •••» et ainsi de