LIVRE II

suite; If enfin, k -v- 1 au lieu de t, k^ h- ^^ au lieu de t^y et ainsi du reste, dans ^{t, /,, t^, . . .); la fonction (A) deviendra

/ ^[k -^ s— ti — 1-2— t:i—. . ., k^-\- ti,k-i->r t-i, . . .)

l X[<i^[s— ti — t^ — ti—.. .) + li (^' [s-^ q - ti ~ ti—...] (A') < +li' <^"[s+q'-U- h -...)+...]

En multipliant cette fonction parc?/,, on l'intégrera depuis t^ nul jusqu'à /, = .9 — ^2 — ^3 — . . .. On multipliera ensuite cette première intégrale par dt^, et on l'intégrera depuis t^ nul jusqu'à t2^=s—t^—t^ — .... En continuant ainsi, on parviendra à une dernière intégrale, qui sera fonction de s, et que nous désignerons par n(.9), et cette fonction sera la somme cherchée de toutes les valeurs de '^{t, t^, t^, . . .), multipliées par leurs probabilités respectives. Mais pour cela il faut avoir soin de changer dans un terme quelconque, multiplié par une puissance de /, telle que /^+^i+^'.+ , k dans la partie de l'exposant de la puissance relative à la variable /, et qui dans ce cas est q-, et, si cette partie manque, il faut supposer k égal à zéro. Il faut pareillement changer k^ dans la partie de l'exposant relative à la variable t^, et ainsi de suite ; il faut diminuer s de l'exposant entier de la puissance de /, et écrire ainsi, dans le cas présent, s — q ~ q, — q^—. . ., au lieu de s, et rejeter le terme, si s, ainsi diminué, devient négatif Enfin il faut supposer/= I.

Si i]^(?, /,, ^2' •••)' ?(^)' ?'(0' •• •' ?i(^«)' • • • sont des fonctions rationnelles et entières des variables t, t^, t., ... de leurs exponentielles et de sinus et cosinus, toutes les intégrations successives seront possibles, parce qu'il est de la nature de ces fonctions de se reproduire par les intégrations. Dans les autres cas, les intégrations pourront n'être pas possibles; mais l'analyse précédente réduit alors le problème aux quadratures. Le cas des fonctions rationnelles et entières offre quelques simplifications que nous allons exposer.

Supposons que l'on ait

9 [t) +lf <p' [q +/ ) -^' l'f' o" [q' -{-t )+...= \ -\-B t ^C t^-i-...,

et désignons par Hr^"'^^'--' ^^ terme quelconque de

(j; ( /j- H- /, /r, + /, , /fa + <2, • • • ) ;

il est facile de s'assurer que la partie de 11(5) correspondante à ce ternie est

I .-2.3. . .w. 1 .2.3. . .n,.i .2.3. . .no. . .H5'+«+«i+"r'-— ' X [A -\- [n -4- I ) B 5 + ( rt + I ) ( n + 1 ) C 5^ -r- . . . ]

J X [A2 H- («2 ^- l)B25 + («2 -;- l) {n-2 -f- ■2)C'îS^ -î- • • •] \ X ,

pourvu que, dans le développement de cette quantité, au lieu d'une

puissance quelconque a de s, on écrive ^ On aura ensuite la

partie correspondante de la somme entière des valeurs de ^(t, t^, t^, ...), multipliées par leurs probabilités respectives, en changeant un terme quelconque de ce développement, tel que Wkt^s"^ dans H>.(5 — ^j.y, et en substituant dans H, au lieu de k, la partie de l'exposant [j. qui est relative à la variable t, au lieu de >?-, la partie relative à ^,, et ainsi du reste.

Si dans la formule (B) on suppose H = i, et /i, n,, «2» • ■ • nuls, on aura la somme des valeurs de l'unité multipliées par leur probabilité respective; or il est visible que cette somme n'est autre chose que la somme de toutes les combinaisons dans lesquelles l'équation

a lieu, multipliées par leur probabilité; elle exprime conséquemment