LIVRE II

la probabilité de cette équation. Si, dans les hypothèses précédentes, on suppose de plus que la loi de probabilité est la même pour les r premières variables t, t,, t2, ..., ^,...,, et que, pour les i — /-dernières, elh; soit encore la même, mais différente, que pour les premières, on

aura

A — Al = A2 =. . .— Ar i,

Ar = A,-+ ,=...=-- A/ ,

B,- = Br-i-{ = . . . 3— B/| ,

et la formule (B) se changera dans la suivante :

Cette formule servira à déterminer la probabilité que la somme des erreurs d'un nombre quelconque d'observations, dont la loi de facilité des erreurs est connue, sera comprise dans des limites données.

Supposons, par exemple, que l'on ait i—i observations dont les erreurs pour chaque observation puissent s'étendre depuis — h jusqu'à -h g, et qu'en nommant:; l'erreur de la première de ces observations, la loi de facilité de cette erreur soit exprimée par a -h bz -h cz^. Supposons ensuite que cette loi soit la même pour les erreurs z^, z.^, . .., Zi i des autres observations, et cherchons la probabilité que la somme de ces erreurs sera comprise dans les limites p et p -\- e.

Si l'on fait

il est clair que /, /,, ^2» • • • seront positifs et pourront s'étendre depuis zéro jusqu'à h -h <^; de plus, on aura

donc la plus grande valeur de la somme z + z^ -{- z^ -h...-]~ 3,..^ étant, par la supposition, égale à /? h- e, et la plus petite étant égale à/>, la

plus grande valeur de / + ^, -f- ^a -H----^ h-i sera {i ~ \)h + p + e, et la plus petite sera [i — i)h ~\- p; en faisant ainsi

( i — I ) /t -+- /) + e = 5 et

/ H- f , + ^2 + • • • + ti 2 = S — ti^i,

ti i sera toujours positif et pourra s'étendre depuis zéro jusqu'à e. Cela posé, si l'on applique à ce cas la formule (C), on aura q z=h -\- g. D'ailleurs, la loi de facilité des erreurs z étant a -{-bz -^ cz^, on en conclura la loi de facilité de t, en y changeant z en t — h. Soit

a' = a — bh -h ch'^y b'=: b — -ich;

on aura a -+- b' t -h et- pour cette loi; ce sera donc la fonction (^{t). Mais, comme, depuis t =^ h + ^jusqu'à t infini, la facilité des valeurs de t est nulle par l'hypothèse, on aura

ce qui donne

cr,'[t]=-[a'-hb't + ct^);

donc, si l'on fait

a"— a' 4- b' [h -h g) +c[h + gY,

b"=b' -^ic[li +g), on aura

cp(f) -\-lio'[q-\-t) =a' + b't-h cr- — l^+s:{a" -h b" t -\- ct^],

et cette équation aura encore lieu en y changeant / en t^, tz, ..., puisque la loi de facilité des erreurs est supposée la même pour toutes les observations.

Quanta la variable //,, on observera que la probabilité de l'équation

étant, quel que soit j^,, égale au produit des probabilités de z,z^,z2, ..., la probabilité de l'équation

/ -f- /, -f- ^2 + • • • -f- ti-2 = 5 — ti-l

sera égale au produit des probabilités de /, ^,, t^, ...; la loi de probabilité de f,, est donc constante et égale à l'unité, et, comme cette va-