APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS

Des jeux.

Les combinaisons que les jeux présentent ont été l'objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l'infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d'entre elles se prêtent avec facilité au calcul ; d'autres exigent des calculs plus difficiles, et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées, le désir de les surmonter et la curiosité ont excité les géomètres à perfectionne!de plus en plus ce genre d'analyse. On a vu précédemment que l'on pouvait facilement déterminer par la théorie des combinaisons les bénéfices d'une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un, par exemple, que tous les numéros seront sortis, n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortants à chaque tirage, et i le nombre inconnu de tirages, l'expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros dépend de la différence finie /«''^'"^ de la puissance i d'un produit de r nombres consécutifs. Lorsque le nombre n est considérable, la recherche de la valeur de /, qui rend cette probabilité égale à {, devient impossible, à moins qu'on ne convertisse cette différence dans une série très convergente. C'est ce que l'on fait heureusement par la méthode ci-dessus indiquée pour les approximations des fonctions de très grands nombres. On trouve ainsi que, la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage, il y a du désavantage à parier un contre un que tous les numéros sortiront dans 9^767 tirages, et de l'avantage à faire le même pari pour 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages.

Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix ou pile, de manière qu'à chaque coup, si croix arrive, A donne un jeton à B qui lui en donne un, si pile arrive : le nombre des jetons de B est

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limité, celui des jetons de A est illimité, et la partie ne doit finir que lorsque B n'aura plus de jetons. On demande en combien de coups on peut parier un contre un que la partie sera terminée. L'expression de la probabilité que la partie sera terminée dans un nombre i de coups est donnée par une suite qui renferme un grand nombre de termes et de facteurs, si le nombre des jetons de B est considérable; la recherche de la valeur de l'inconnue «qui rend cette suite égale à \ serait donc alors impossible, si l'on ne parvenait pas à réduire la suite dans une série très convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler, on trouve une expression fort simple de l'inconnue, de laquelle il résulte que si, par exemple, B a cent jetons, il y a un peu moins d'un contre un à parier que la partie sera finie en 28780 coups, et un peu plus d'un contre un à parier qu'elle sera finie dans 28781 coups. Ces deux exemples, joints à ceux que nous avons déjà donnés, suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l'Analyse.

Des inégalités inconnues qui peuvent exister entre les chances que l'on suppose égales.

Les inégalités de ce genre ont sur les résultats du Calcul des Probabilités une influence sensible, qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix ou pile, et supposons qu'il soit également facile d'amener l'une ou l'autre face de la pièce. Alors la probabilité d'amener croix au premier coup est ^, et celle de l'amener deux fois de suite est ^. Mais s'il existe dans la pièce une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l'autre, sans que l'on connaisse quelle est la face favorisée par cette inégalité, la probabilité d'amener croix au premier coup sera toujours ~, parce que, dans l'ignorance où l'on est de la face que cette inégalité favorise, autant la probabilité de l'événement simple est augmentée, si cette inégalité lui est favorable, autant elle est diminuée, si l'inégalité lui est contraire. Mais, dans cette ignorance même, la probabilité d'amener croix deux fois de suite est augmentée.

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En effet, cette probabilité est celle d'amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que, l'ayant amené au premier coup, on l'amènera au second; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l'inégalité de la pièce le favorise; l'inégalité inconnue augmente donc alors la probabilité d'amener croix au second coup; elle accroît par conséquent le produit des deux probabilités. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons que cette inégalité augmente d'un vingtième la probabilité de l'événement simple qu'elle favorise. Si cet événement est croix, sa probabilité sera { plus -^ ou ^, et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera le carré de ^ ou ^. Si l'événement favorisé est pile, la probabilité de croix sera r, moins -^ ou t^, et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera ^. Comme on n'a d'avance aucune raison de croire que l'inégalité favorise l'un de ces événements plutôt que l'autre, il est clair que, pour avoir la probabilité de l'événement composé cro^a? c/wvr, il faut ajouter les deux probabilités précédentes et prendre la moitié de leur somme, ce qui donne {^ pour cette probabilité, qui surpasse | de ^ ou du carré de l'accroissement ~ que l'inégalité ajoute à la possibilité de l'événement qu'elle favorise. La probabilité d'amener /?ï7e yof/e est pareillement ^J; mais les probabilités d'amener croix pile ou pile croix ne sont chacune que —„; car la somme de ces quatre probabilités doit égaler la certitude ou l'unité. On trouve ainsi généralement que les causes constantes et inconnues qui favorisent les événements simples que l'on juge également possibles accroissent toujours la probabilité de la répétition d'un même événement simple.

Dans un nombre pair de coups, croix et pile doivent arriver tous deux, ou un nombre pair ou un nombre impair de fois. La probabilité de chacun de ces cas est ~ si les possibilités des deux faces sont égales ; mais s'il existe entre elles une inégalité inconnue, cette inégalité est toujours favorable au premier cas.

Deux joueurs, dont on suppose les adresses égales, jouent avec les conditions qu'à chaque coup celui qui perd donne un jeton à son adversaire, et que la partie dure jusqu'à ce que l'un des joueurs n'ait

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plus de jetons. Le Calcul des Probabilités nous montre que, pour l'égalité du jeu, les mises des joueurs doivent être en raison inverse de leurs jetons. Mais s'il existe entre leurs adresses une petite inégalité inconnue, elle favorise celui des joueurs qui a le plus petit nombre de jetons. Sa probabilité de gagner la partie augmente, si les joueurs conviennent de doubler, de tripler leurs jetons, et elle serait { ou la même que la probabilité de l'autre joueur, dans le cas où les nombres de leurs jetons deviendraient infinis, en conservant toujours le même rapport.

On peut corriger l'influence de ces inégalités inconnues en les soumettant elles-mêmes aux chances du hasard. Ainsi au jeu de croix ou pile, si l'on a une seconde pièce que l'on projette chaque fois avec la première et que l'on convienne de nommer constamment croix la face amenée par cette seconde pièce, la probabilité d'amener croixdeux fois de suite avec la première pièce approchera beaucoup plus d'un quart que dans le cas d'une seule pièce. Dans ce dernier cas, la différence est le carré du petit accroissement de possibilité que l'inégalité inconnue donne à la face de la première pièce qu'elle favorise ; dans l'autre cas, cette différence est le quadruple produit de ce carré par le carré correspondant relatif à la seconde pièce.

Que l'on jette dans une urne cent numéros depuis un jusqu'à cent, dans l'ordre de la numération, et qu'après avoir agité l'urne pour mêler ces numéros on en tire un, il est clair que, si le mélange a été bien fait, les probabilités de sortie des numéros seront les mêmes. Mais si l'on craint qu'il n'y ait entre elles de petites différences dépendantes de l'ordre suivant lequel les numéros ont été jetés dans l'urne, on diminuera considérablement ces différences en jetant dans une seconde urne ces numéros suivant leur ordre de sortie de la première urne et en agitant ensuite cette seconde urne pour mêler ces numéros. Une troisième urne, une quatrième, etc. diminueraient de plus en plus ces différences, déjà insensibles dans la seconde urne.

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Des lois de la Probabilité qui résultent de la multiplication indéfinie des événements.

Au milieu des causes variables et inconnues que nous comprenons sous le nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrégulière la marche des événements, on voit naître, à mesure qu'ils se multiplient, une régularité frappante, qui semble tenir à un dessein et que l'on a considérée comme une preuve de la providence. Mais, en y réfléchissant, on reconnaît bientôt que cette régularité n'est que le développement des possibilités respectives des événements simples, qui doivent se présenter plus souvent lorsqu'ils sont plus probables. Concevons, par exemple, une urne qui renferme des boules blanches et des boules noires, et supposons qu'à chaque fois que l'on en tire une boule, on la remette dans l'urne pour procédera un nouveau tirage. Le rapport du nombre des boules blanches extraites au nombre des boules noires extraites sera le plus souvent très irrégulier dans les premiers tirages; mais les causes variables de cette irrégularité produisent des effets alternativement favorables et contraires à la marche régulière des événements, et qui, se détruisant mutuellement dans l'ensemble d'un grand nombre de tirages, laissent de plus en plus apercevoir le rapport des boules blanches aux boules noires contenues dans Furne, ou les possibilités respectives d'en extraire une boule blanche ou une boule noire à chaque tirage. De là résulte le théorème suivant :

La probabilité que le rapport du nombre des boules blanches extraites au nombre total des boules sorties ne s 'écarte pas au delà d'un inten^alle donné du rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules contenues dans Vurne, approche indéfiniment de la certitude par la multiplication indéfinie des événements, quelque petit que l'on suppose cet intervalle.

Ce théorème, indiqué par le bon sens, était difficile à démontrer par l'Analyse. Aussi l'illustre géomètre Jacques Bernoulli, qui s'en est

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occupé le premier, attachait-il une grande importance à la démonstration qu'il en a donnée. Le calcul des fonctions génératrices, appliqué à cet objet, non seulement démontre avec facilité ce théorème, mais, de plus, il donne la probabilité que le rapport des événements observés ne s'écarte que dans certaines limites du vrai rapport de leurs possibilités respectives.

On peut tirer du théorème précédent cette conséquence, qui doit être regardée comme une loi générale, savoir, que les rapports des effets de la nature sont à fort peu près constants, quand ces effets sont considérés en grand nombre. Ainsi, malgré la variété des années, la somme des productions, pendant un nombre d'années considérable, est sensiblement la même ; en sorte que l'homme, par une utile prévoyance, peut se mettre à l'abri de l'irrégularité des saisons, en répandant également sur tous les temps les biens que la nature distribue d'une manière inégale. Je n'excepte pas de la loi précédente les effets dus aux causes morales. Le rapport des naissances annuelles à la population et celui des mariages aux naissances n'éprouvent que de très petites variations; à Paris, le nombre des naissances annuelles est à peu près le même, et j'ai ouï dire qu'à la poste, dans les temps ordinaires, le nombre des lettres mises au rebut par les défauts des adresses change peu chaque année, ce qui a été pareillement observé à Londres.

Il suit encore de ce théorème que, dans une série d'événements indéfiniment prolongée, l'action des causes régulières et constantes doit l'emporter à la longue sur celle des causes irrégulières. C'est ce qui rend les gains des loteries aussi certains que les produits de l'Agriculture, les chances qu'elles se réservent leur assurant un bénéfice dans l'ensemble d'un grand nombre de mises. Ainsi, des chances favorables et nombreuses étant constamment attachées à l'observation des principes éternels de raison, de justice et d'humanité qui fondent et maintiennent les sociétés, il y a un grand avantage à se conformer à ces principes et de graves inconvénients à s'en écarter. Que l'on consulte les histoires et sa propre expérience; on y verra tous les faits venir à l'appui de ce résultat du calcul. Considérez les heureux effets des insti-

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tutions fondées sur la raison et sur les droits naturels de l'homme, chez les peuples qui ont su les établir et les conserver. Considérez encore les avantages que la bonne foi a procurés aux gouvernements qui en ont fait la base de leur conduite, et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu'une scrupuleuse exactitude à tenir ses engagements leur a coûté. Quel immense crédit au dedans! quelle prépondérance au dehors! Voyez, au contraire, dans quel abîme de malheurs les peuples ont été souvent précipités par l'ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes les fois qu'une grande puissance, enivrée de l'amour des conquêtes, aspire à la domination universelle, le sentiment de l'indépendance produit entre les nations menacées une coalition, dont elle devient presque toujours la victime. Pareillement, au milieu des causes variables qui étendent ou qui resserrent les divers Etats, les limites naturelles, en agissant comme causes constantes, doivent finir par prévaloir. Il importe donc à la stabilité comme au bonheur des empires de ne pas les étendre au delà de ces limites dans lesquelles ils sont ramenés sans cesse par l'action de ces causes, ainsi que les eaux des mers, soulevées par de violentes tempêtes, retombent dans leurs bassins par la pesanteur. C'est encore un résultat du Calcul des Probabilités, confirmé par de nombreuses et funestes expériences. L'histoire, traitée sous le point de vue de l'influence des causes constantes, unirait à l'intérêt de la curiosité celui d'offrir aux hommes les plus utiles leçons. Quelquefois on attribue les effets inévitables de ces causes à des circonstances accidentelles qui n'ont fait que développer leur action. Il est, par exemple, contre la nature des choses qu'un peuple soit à jamais gouverné par un autre qu'une vaste mer ou une grande distance en sépare. On peut affirmer qu'à la longue cette cause constante, se joignant sans cesse aux causes variables qui agissent dans le même sens et que la suite des temps développe, finira par en trouver d'assez fortes pour rendre au peuple soumis son indépendance naturelle, ou pour le réunir à un état puissant qui lui soit contigu.

Dans un grand nombre de cas, et ce sont les plus importants do l'Analyse des hasards, les possibilités des événements simples sont

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