LIVRE II. M

plus grand de ces termes que nous désignerons par k. Le terme anté-

Ifp x' . \ . • . I ^ — P ^ n rieur sera — » et le terme suivant sera k -— Pour que

I — fJX-hl p X -h l *

A soit le plus grand terme, il faut que Ton ait

il est facile d'en conclure que, si l'on fait^ + x' ^= n, on aura

[n -\- \)p — i <ix <::^ [n + \) p',

ainsi œ est le plus grand nombre entier compris dans [n -\- \)p; en faisant donc

ce qui donne

.r H- 5 ar' H- I — s p X -\- s

n-hi '^ n + i I — p X -h i — s

s sera moindre que l'unité. Si ap et a?' sont de très grands nombres, on aura, à très peu près,

c'est-à-dire que les exposants de p et de i — p dans le plus grand terme du binôme sont à fort peu près dans le rapport de ces quantités ; en sorte que, de toutes les combinaisons qui peuvent avoir lieu dans un très grand nombre n de coups, la plus probable est celle dans laquelle chaque événement est répété proportionnellement à sa probabilité.

Le terme /'^'"^, après le plus grand, est

l.2.3...[x—l).l.'2.i...[x'-hl]'^ ^ ^'

On a, par le n" 33 du Livre P",

Œuvres de L. — VII. 36

ce qui donne

Développons le terme {x — /) ' \ Son logarithme hyperbolique est

(/ - ^ - A) pogx + log h - - j J; or on a

]o il- -] —~ i - ^' - '' - '' -

nous négligerons les quantités de l'ordre -, et nous supposerons que /^ ne surpasse point l'ordre n; alors on pourra négliger les termes de Tordre — ? parce que x et x' sont de l'ordre n. On aura ainsi

7 — X — i) logjc + / +

ce qui donne, en repassant des logarithmes aux nombres, on aura pareillement