or— /).r. 2.3.. .(:c

^T n-^-'d- nV'-^f

ni*

Jnc ^^"^ Y nzl lix' — x) /■' /' 1

\Jns/ixx'L ^^ 2.tx' bx- b.r-J

On aura le terme antérieur au plus grand ternie et qui en est éloigné à la distance /, en faisant /négatif dans cette équation; en réunissant ensuite ces deux termes, leur somme sera

L'intégrale finie

ni-

^/t: ^2 xx'

prise depuis / = o inclusivement, exprimera donc la somme de tous les ternies du binôme [/> + (i — p)Tf comprise entre les deux termes, dont l'un a p'^'^' pour facteur, et l'autre a jo-^' pour facteur, et qui sont ainsi équidistants du plus grand terme; mais il faut retrancher de cette somme le plus grand terme qui y est évidemment compris deux fois.

Maintenant, pour avoir cette intégrale finie, nous observerons que l'on a, par le n" 10 du Livre PS y étant fonction de /,

d'où l'on tire, par le même numéro,

1 dl

^y = fydl r H -^ + •••+ consl.;

^ -^ -' i^ 12. al

y étant ici égal 3i--^^!^^c~^^-^% les différentielles successives de y ac-

quièrent pour facteur — -, et ses puissances. Ainsi, /étant supposé ne

pouvoir être au plus que de l'ordre sjn, ce facteur est de l'ordre 4=7 et

par conséquent ses différentielles, divisées par les puissances respectives de dl, décroissent de plus en plus; en négligeant donc, comme on

l'a fait précédemment, les termes de l'ordre -» on aura, en faisant com-

mencer avec /les deux intégrales finies et infiniment petites, et désignant par Y le plus grand terme du binôme,

La somme de tous les termes du binôme [/? + ( i — /?)]" compris entre les deux termes équidistants du plus grand terme du nombre /étant égale à ly — ^Y, elle sera

Sfdi-^r^

et si l'on y ajoute la somme de ces termes extrêmes, on aura, pour la

somme de tous ces termes,

Sydl + hr-

Si l'on fait

Isjn

\lixx' cette somme devient

y/;: sjvisjixx'

Les termes que l'on a négligés étant de l'ordre -♦ cette expression est

d'autant plus exacte que n est plus grand; elle est rigoureuse lorsque n est infini. Il serait facile, par l'analyse précédente, d'avoir égard aux

termes de l'ordre - et des ordres supérieurs.